Упр.698 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) u_1^2+u_2^2+…+u_n^2=u_n·u_(n+1);
б) u_1+u_3+u_5+…+u_(2n-1)=u_(2n).

Пусть $$u_1=u_2=1,$$ а при $$n>2$$ выполняется рекуррентная формула $$u_n=u_{n-1}+u_{n-2}.$$ Докажем утверждения индукцией.

а) Докажем, что

$$u_1^2+u_2^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1}.$$

База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$u_1^2=1,\qquad u_1\cdot u_2=1.$$

Равенство верно.

Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k$$ верно

$$u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2=u_k\cdot u_{k+1}.$$

Тогда

$$ u_1^2+u_2^2+\dots+u_k^2+u_{k+1}^2 = u_k\cdot u_{k+1}+u_{k+1}^2 = u_{k+1}(u_k+u_{k+1}) = u_{k+1}\cdot u_{k+2}. $$

Следовательно, формула верна и для $$k+1$$. Значит, она верна при любом $$n$$.

б) Докажем, что

$$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}.$$

База индукции. При $$n=1$$

$$u_1=1,\qquad u_2=1,$$

то есть равенство верно.

Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k$$ выполнено

$$u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}=u_{2k}.$$

Тогда

$$ u_1+u_3+\dots+u_{2k-1}+u_{2k+1} = u_{2k}+u_{2k+1} = u_{2k+2}. $$

Значит, равенство верно и для $$k+1$$. Следовательно, оно справедливо при любом $$n$$.

Ответ

$$u_1^2+u_2^2+\dots+u_n^2=u_n\cdot u_{n+1},$$

$$u_1+u_3+u_5+\dots+u_{2n-1}=u_{2n}.$$