Упр.697 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 697. Дана последовательность (a_n), в которой a_1=2, 3a_(n+1)=3a_n+1. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой a_n=2,5·3^(n-1)-0,5.

Докажем формулу для последовательности методом математической индукции.

Пусть

$$a_n=2{,}5\cdot 3^{n-1}-0{,}5.$$

1) Проверим при $$n=1$$:

$$a_1=2{,}5\cdot 3^0-0{,}5=2{,}5-0{,}5=2.$$

Это совпадает с условием.

2) Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$a_k=2{,}5\cdot 3^{k-1}-0{,}5.$$

Тогда по рекуррентной формуле

$$3a_{k+1}=3a_k+1,$$

откуда

$$a_{k+1}=a_k+\frac13.$$

Подставим выражение для $$a_k$$:

$$a_{k+1}=2{,}5\cdot 3^{k-1}-0{,}5+\frac13.$$

Удобнее сразу проверить формулу через рекуррентное соотношение:

$$ a_{k+1}=3a_k+1=3\left(2{,}5\cdot 3^{k-1}-0{,}5\right)+1 =2{,}5\cdot 3^k-1{,}5+1 =2{,}5\cdot 3^k-0{,}5. $$

Это и есть формула для $$a_{k+1}$$.

Следовательно, для всех $$n\in\mathbb{N}$$ последовательность задаётся формулой

$$a_n=2{,}5\cdot 3^{n-1}-0{,}5.$$

Ответ

$$a_n=2{,}5\cdot 3^{n-1}-0{,}5.$$