Упр.696 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

a_1=3, a_2=5, a_(n+2)=3a_(n+1)-2a_n.
Докажите, что эту последовательность можно задать формулой a_n=2^n+1.

Проверим, что формула $$a_n=2^n+1$$ удовлетворяет заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям.

При $$n=1$$ получаем:

$$a_1=2^1+1=2+1=3.$$

При $$n=2$$ получаем:

$$a_2=2^2+1=4+1=5.$$

Теперь предположим, что для некоторого $$k$$ верно:

$$a_k=2^k+1,\qquad a_{k+1}=2^{k+1}+1.$$

Тогда по рекуррентной формуле

$$ a_{k+2}=3a_{k+1}-2a_k =3(2^{k+1}+1)-2(2^k+1). $$

Упростим:

$$ a_{k+2}=3\cdot 2^{k+1}+3-2\cdot 2^k-2 =6\cdot 2^k-2\cdot 2^k+1 =4\cdot 2^k+1 =2^{k+2}+1. $$

Значит, если формула верна для $$a_k$$ и $$a_{k+1}$$, то она верна и для $$a_{k+2}$$. Следовательно, последовательность задаётся формулой $$a_n=2^n+1$$.

Ответ

$$a_n=2^n+1.$$