Упр.696 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

• Найдите сумму членов арифметической прогрессии: а) $$-3,2; -2,4; \ldots$$, не превосходящих $$24$$; б) $$12,5; 11,9; \ldots$$, больших, чем $$-1$$.
• Последовательность $$(a_n)$$ задана рекуррентным соотношением $$a_1=3,\quad a_2=5,\quad a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$$. Докажите, что эту последовательность можно задать формулой $$a_n=2^n+1$$.

Проверим, что формула $$a_n=2^n+1$$ удовлетворяет заданному рекуррентному соотношению и начальным условиям.

При $$n=1$$ получаем:

$$a_1=2^1+1=2+1=3.$$

При $$n=2$$ получаем:

$$a_2=2^2+1=4+1=5.$$

Теперь предположим, что для некоторого $$k$$ верно:

$$a_k=2^k+1,\qquad a_{k+1}=2^{k+1}+1.$$

Тогда по рекуррентной формуле

$$a_{k+2}=3a_{k+1}-2a_k =3(2^{k+1}+1)-2(2^k+1).$$

Упростим:

$$a_{k+2}=3\cdot 2^{k+1}+3-2\cdot 2^k-2 =6\cdot 2^k-2\cdot 2^k+1 =4\cdot 2^k+1 =2^{k+2}+1.$$

Значит, если формула верна для $$a_k$$ и $$a_{k+1}$$, то она верна и для $$a_{k+2}$$. Следовательно, последовательность задаётся формулой $$a_n=2^n+1$$.

Ответ

$$a_n=2^n+1.$$