Упр.695 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1/(1·4)+1/(4·7)+1/(7·10)+…+1/((3n-2)(3n+1))=n/(3n+1);
б) 1/(1·5)+1/(5·9)+1/(9·13)+…+1/((4n-3)(4n+1))=n/(4n+1).

а) Обозначим

$$S_n=\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}.$$

Докажем формулу по индукции.

При $$n=1$$ имеем

$$S_1=\frac{1}{1\cdot 4}=\frac14=\frac{1}{3\cdot 1+1}.$$

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$S_k=\frac{k}{3k+1}.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}. $$

Подставим предположение индукции:

$$ S_{k+1}=\frac{k}{3k+1}+\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} =\frac{k(3k+4)+1}{(3k+1)(3k+4)}. $$

$$ k(3k+4)+1=3k^2+4k+1=(k+1)(3k+1), $$

значит

$$ S_{k+1}=\frac{(k+1)(3k+1)}{(3k+1)(3k+4)}=\frac{k+1}{3k+4} =\frac{k+1}{3(k+1)+1}. $$

Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.

б) Обозначим

$$S_n=\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 13}+\cdots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}.$$

При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{1}{1\cdot 5}=\frac15=\frac{1}{4\cdot 1+1}.$$

Пусть для $$n=k$$ верно

$$S_k=\frac{k}{4k+1}.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)}. $$

Подставим предположение индукции:

$$ S_{k+1}=\frac{k}{4k+1}+\frac{1}{(4k+1)(4k+5)} =\frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)}. $$

$$ k(4k+5)+1=4k^2+5k+1=(k+1)(4k+1), $$

поэтому

$$ S_{k+1}=\frac{(k+1)(4k+1)}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{k+1}{4k+5} =\frac{k+1}{4(k+1)+1}. $$

Значит, равенство верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$ \frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}, $$
$$ \frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+\cdots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{n}{4n+1}. $$