Упр.694 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1/(1·3), 1/(3·5), 1/(5·7), …, 1/((2n-1)(2n+1)), … .

Обозначим сумму первых n членов данной последовательности через $$S_n$$:

$$S_n=\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\frac1{5\cdot 7}+\cdots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$

Заметим, что

$$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).$$

Тогда

$$ S_n=\frac12\left(\frac11-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right). $$

Внутренние слагаемые сокращаются, и остаётся

$$S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}.$$

Ответ

$$S_n=\frac{n}{2n+1}.$$