Упр.694 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если $$\left(a_n\right)$$ — арифметическая прогрессия, то $$a_n=a_1+d(n-1)$$, $$S_n=(2a_1+d(n-1))/2\cdot n$$.
2. Выведите формулу суммы первых $$n$$ членов последовательности $$\frac{1}{1\cdot3},\ \frac{1}{3\cdot5},\ \frac{1}{5\cdot7},\ \ldots,\ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)},\ \ldots$$.

Обозначим сумму первых n членов данной последовательности через $$S_n$$:

$$S_n=\frac1{1\cdot 3}+\frac1{3\cdot 5}+\frac1{5\cdot 7}+\cdots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}.$$

Заметим, что

$$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).$$

Тогда

$$S_n=\frac12\left(\frac11-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right).$$

Внутренние слагаемые сокращаются, и остаётся

$$S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}.$$

Ответ

$$S_n=\frac{n}{2n+1}.$$