Упр.693 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Проверьте правильность утверждения Диофанта (III в. н. э.): если а — некоторое треугольное число, то $$8а+1$$ — квадратное число.
2. Докажите, что сумма $$S_n$$ первых $$n$$ членов последовательности $$\frac{1}{7}, \frac{1}{7^2}, \frac{1}{7^3}, \ldots, \frac{1}{7^n}, \ldots$$ может быть вычислена по формуле $$S_n=\frac{7^n-1}{6\cdot 7^n}$$.

Докажем формулу для суммы первых n членов последовательности по индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$S_1=\frac17.$$

По формуле получаем

$$\frac{7^1-1}{6\cdot 7^1}=\frac{7-1}{6\cdot 7}=\frac{6}{42}=\frac17.$$

Значит, формула верна при $$n=1$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно

$$S_k=\frac{7^k-1}{6\cdot 7^k}.$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{7^{k+1}}.$$

Подставим предположение индукции:

$$S_{k+1}=\frac{7^k-1}{6\cdot 7^k}+\frac{1}{7^{k+1}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S_{k+1}=\frac{7(7^k-1)}{6\cdot 7^{k+1}}+\frac{6}{6\cdot 7^{k+1}} =\frac{7^{k+1}-7+6}{6\cdot 7^{k+1}} =\frac{7^{k+1}-1}{6\cdot 7^{k+1}}.$$

Следовательно, если формула верна для $$n=k$$, то она верна и для $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции

$$S_n=\frac{7^n-1}{6\cdot 7^n}.$$

Ответ

$$S_n=\frac{7^n-1}{6\cdot 7^n}.$$