Упр.692 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(2n+1)/3;
б) 1·4+2·7+3·10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2;
в) 1^2-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n+1) n^2=(-1)^(n+1) n(n+1)/2.

Подробный ответ

а) Докажем по индукции, что

$$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}.$$

При $$n=1$$:

$$1\cdot 2=2,\qquad \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2.$$

Равенство верно.

Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(2k+1)}{3}.$$

Тогда для $$n=k+1$$ получаем:

$$ \begin{aligned} 1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2) &=\frac{k(k+1)(2k+1)}{3}+(k+1)(k+2)\\ &=\frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+3(k+2)\bigr)}{3}\\ &=\frac{(k+1)(2k^2+4k+6)}{3}\\ &=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{3}. \end{aligned} $$

Это и есть

$$\frac{(k+1)(k+2)\bigl(2(k+1)+1\bigr)}{3}.$$

Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.

б) Докажем, что

$$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$

При $$n=1$$:

$$1\cdot 4=4,\qquad 1\cdot 2^2=4.$$

Равенство верно.

Пусть для $$n=k$$ верно:

$$1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3k+4) &=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)\\ &=(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr)\\ &=(k+1)(k^2+4k+4)\\ &=(k+1)(k+2)^2. \end{aligned} $$

Значит,

$$1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+(k+1)\bigl(3(k+1)+1\bigr)=(k+1)(k+2)^2,$$

то есть формула верна для любого натурального $$n$$.

в) Докажем, что

$$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}.$$

При $$n=1$$:

$$1^2=1,\qquad (-1)^2\frac{1\cdot 2}{2}=1.$$

Равенство верно.

Пусть для $$n=k$$ верно:

$$1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{k+1}k^2=(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{2}.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{k+1}k^2+(-1)^{k+2}(k+1)^2 &=(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{2}+(-1)^{k+2}(k+1)^2\\ &=(-1)^{k+2}\left(-\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)^2\right)\\ &=(-1)^{k+2}(k+1)\left(-\frac{k}{2}+k+1\right)\\ &=(-1)^{k+2}(k+1)\frac{k+2}{2}\\ &=(-1)^{k+2}\frac{(k+1)(k+2)}{2}. \end{aligned} $$

Это и есть формула для $$n=k+1$$.

Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.