Упр.690 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
доказанную в 111 в. до н. э. Архимедом (287—212 гг. до н. э.).

Докажем формулу по индукции.

1) При $$n=1$$ имеем:

$$1^2=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.$$

Формула верна при $$n=1$$.

2) Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$

Докажем, что тогда она верна и для $$n=k+1$$:

$$ 1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}. $$

Вынесем $$k+1$$ за скобки:

$$ \frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+6(k+1)\bigr)}{6} =\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}. $$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$ 2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3). $$

Тогда

$$ 1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. $$

Это и есть формула при $$n=k+1$$, то есть

$$ 1^2+2^2+3^2+\dots+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. $$

Следовательно, формула верна для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$