Упр.689 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) сумма первых n натуральных чисел равна n(n+1)/2;
б) сумма кубов первых n натуральных чисел равна n^2 (n+1)^2/4.

а) Докажем по индукции, что

$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

Предположим, что для $$n=k$$ верно:

$$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1).$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$

Значит,

$$1+2+\dots+(k+1)=\frac{(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)}{2},$$

что и требовалось доказать.

б) Докажем по индукции, что

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

При $$n=1$$:

$$1^3=\frac{1^2\cdot(1+1)^2}{4}=\frac{4}{4}=1.$$

Предположим, что для $$n=k$$ верно:

$$1^3+2^3+\dots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3.$$

Вынесем $$ (k+1)^2 $$ за скобки:

$$\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2}{4}\bigl(k^2+4k+4\bigr)=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.$$

Следовательно,

$$1^3+2^3+\dots+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2\bigl((k+1)+1\bigr)^2}{4},$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$