Упр.687 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) u_n=12·(0,5)^n-1; б) u_n=(n+4)/(n^2+2).

а) Найдём разность соседних членов последовательности:

$$u_n=12\cdot(0,5)^n-1,$$

$$u_{n+1}=12\cdot(0,5)^{n+1}-1=6\cdot(0,5)^n-1.$$

Тогда

$$u_{n+1}-u_n=\left(6\cdot(0,5)^n-1\right)-\left(12\cdot(0,5)^n-1\right)=-6\cdot(0,5)^n<0.$$

Значит, $$u_{n+1}

б) Найдём разность соседних членов:

$$u_n=\frac{n+4}{n^2+2},$$

$$u_{n+1}=\frac{(n+1)+4}{(n+1)^2+2}=\frac{n+5}{n^2+2n+3}.$$

Тогда

$$u_{n+1}-u_n=\frac{n+5}{n^2+2n+3}-\frac{n+4}{n^2+2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{(n+5)(n^2+2)-(n+4)(n^2+2n+3)}{(n^2+2)(n^2+2n+3)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (n+5)(n^2+2)=n^3+5n^2+2n+10, $$

$$ (n+4)(n^2+2n+3)=n^3+6n^2+11n+12. $$

Тогда

$$ u_{n+1}-u_n=\frac{-n^2-9n-2}{(n^2+2)(n^2+2n+3)}. $$

Так как при любом натуральном $$n$$ знаменатель положителен, а числитель отрицателен, то

$$u_{n+1}-u_n<0.$$

Следовательно, последовательность убывает.

Ответ

а) Последовательность убывает; б) последовательность убывает.