Упр.686 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) a_n={n^2-4n+3}; б) a_n=[n^2-4n+3]; в) a_n=sgn(n^2-4n+3)?

Рассмотрим выражение $$n^2-4n+3=(n-1)(n-3).$$

1. $$a_n=\{n^2-4n+3\}$$

   Здесь фигурные скобки означают дробную часть числа, поэтому

   $$0\le \{n^2-4n+3\}<1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

2. $$a_n=[n^2-4n+3]$$

   Квадратный трёхчлен принимает наименьшее значение при $$n=2$$:

   $$n^2-4n+3\big|_{n=2}=4-8+3=-1.$$

   Значит,

   $$[n^2-4n+3]\ge -1.$$

   Сверху последовательность не ограничена, так как при больших $$n$$ значение $$n^2-4n+3$$ и его целая часть неограниченно возрастают.

3. $$a_n=\operatorname{sgn}(n^2-4n+3)$$

   Значения функции sign лежат в промежутке

   $$-1\le \operatorname{sgn}(n^2-4n+3)\le 1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

Ответ

а) да; б) нет; в) да.