Упр.685 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) u_n=a_n+b_n; б) u_n=a_n-b_n; в) u_n=a_n b_n?

Так как последовательности $$\left(a_n\right)$$ и $$\left(b_n\right)$$ ограничены, то существуют числа $$M_1, M_2, M_3, M_4$$ такие, что

$$M_1 \le a_n \le M_2,\qquad M_3 \le b_n \le M_4.$$

1. Если $$u_n=a_n+b_n,$$ то, складывая соответствующие неравенства, получаем

   $$M_1+M_3 \le u_n \le M_2+M_4.$$

   Значит, последовательность $$\left(u_n\right)$$ ограничена.

2. Если $$u_n=a_n-b_n,$$ то

   $$M_1-M_4 \le u_n \le M_2-M_3.$$

   Следовательно, последовательность $$\left(u_n\right)$$ ограничена.

3. Если $$u_n=a_n b_n,$$ то произведение двух ограниченных последовательностей также ограничено. Действительно, все значения $$a_n b_n$$ лежат между наименьшим и наибольшим из чисел

   $$M_1M_3,\quad M_1M_4,\quad M_2M_3,\quad M_2M_4.$$

   Значит, последовательность $$\left(u_n\right)$$ ограничена.

Ответ

а) да, ограничена; б) да, ограничена; в) да, ограничена.