Упр.685 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Из посёлка в город, расстояние до которого равно $$10{,}5\ \text{км}$$, вышел пешеход. Через $$30\ \text{мин}$$ вслед за ним отправился из посёлка со скоростью $$4\ \text{км/ч}$$ другой пешеход, который догнал первого, передал ему забытый пакет и тотчас повернул обратно. Найдите скорость первого пешехода, если известно, что он пришёл в город в тот момент, когда второй вернулся в посёлок.
Известно, что $$(a_n)$$ и $$(b_n)$$ — ограниченные последовательности. Является ли ограниченной последовательность $$(u_n)$$, если:
а) $$u_n=a_n+b_n$$;
б) $$u_n=a_n-b_n$$;
в) $$u_n=a_nb_n$$?

Подробный ответ

Так как последовательности $$\left(a_n\right)$$ и $$\left(b_n\right)$$ ограничены, то существуют числа $$M_1, M_2, M_3, M_4$$ такие, что

$$M_1 \le a_n \le M_2,\qquad M_3 \le b_n \le M_4.$$

Если $$u_n=a_n+b_n,$$ то, складывая соответствующие неравенства, получаем
$$M_1+M_3 \le u_n \le M_2+M_4.$$
Значит, последовательность $$\left(u_n\right)$$ ограничена.
Если $$u_n=a_n-b_n,$$ то
$$M_1-M_4 \le u_n \le M_2-M_3.$$
Следовательно, последовательность $$\left(u_n\right)$$ ограничена.
Если $$u_n=a_n b_n,$$ то произведение двух ограниченных последовательностей также ограничено. Действительно, все значения $$a_n b_n$$ лежат между наименьшим и наибольшим из чисел
$$M_1M_3,\quad M_1M_4,\quad M_2M_3,\quad M_2M_4.$$
Значит, последовательность $$\left(u_n\right)$$ ограничена.