Упр.684 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа $$a^2+ab+b^2$$, $$a^2+ac+c^2$$, $$b^2+bc+c^2$$ также являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
- Укажите, если возможно, значения $$a$$ и $$b$$, при которых все члены последовательности изображаются в координатной плоскости точками, принадлежащими полосе, ограниченной прямыми $$y=a$$ и $$y=b$$:
а) $$p_n=\frac{3n+2}{n+3}$$;
б) $$p_n=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$$;
в) $$p_n=n^2-6n$$.
а) $$p_n=\frac{3n+2}{n+3}$$
Преобразуем:
$$\frac{3n+2}{n+3}=\frac{3(n+3)-7}{n+3}=3-\frac{7}{n+3}.$$
При $$n\ge 1$$ имеем $$n+3\ge 4$$, значит
$$0<\frac{7}{n+3}\le \frac{7}{4}.$$
Тогда
$$3-\frac{7}{4}\le p_n<3,$$
то есть
$$\frac{5}{4}\le p_n<3.$$
Следовательно, все члены последовательности лежат в полосе $$y=a$$ и $$y=b$$ при
$$a=\frac{5}{4},\quad b=3.$$
б) $$p_n=5\left(\frac12\right)^n$$
Так как $$n\ge 1$$, то
$$0<\left(\frac12\right)^n\le \frac12.$$
Умножая на $$5$$, получаем
$$0<p_n\le \frac52.$$
Значит, все члены последовательности принадлежат полосе при
$$a=0,\quad b=\frac52.$$
в) $$p_n=n^2-6n$$
Рассмотрим несколько первых членов:
$$p_1=1-6=-5,\quad p_2=4-12=-8,\quad p_3=9-18=-9,\quad p_4=16-24=-8.$$
Последовательность не ограничена снизу и сверху в виде отрезка $$[a;b]$$ не существует.
Ответ
а) $$a=\frac54,\ b=3$$; б) $$a=0,\ b=\frac52$$; в) таких $$a$$ и $$b$$ не существует.
