Упр.682 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

x_n={(-1/4)^n при нечетном n, (-1/2)^n при четном n}?

Рассмотрим последовательность

$$ x_n= \begin{cases} \left(-\dfrac14\right)^n, & \text{при нечётном } n,\\ \left(-\dfrac12\right)^n, & \text{при чётном } n. \end{cases} $$

Если $n$ нечётное, то

$$ \left(-\dfrac14\right)^n<0,\qquad \left|\left(-\dfrac14\right)^n\right|=\left(\dfrac14\right)^n\le \dfrac14. $$

Значит, для нечётных $n$

$$ -\dfrac14 \le \left(-\dfrac14\right)^n < 0. $$

Если $n$ чётное, то

$$ \left(-\dfrac12\right)^n=\left(\dfrac12\right)^n>0,\qquad \left(\dfrac12\right)^n\le \dfrac14 \quad \text{при } n\ge 2. $$

Следовательно, для чётных $n$

$$ 0<\left(-\dfrac12\right)^n\le \dfrac14. $$

Итак, все члены последовательности лежат в промежутке

$$ -\dfrac14 \le x_n \le \dfrac14. $$

Значит, последовательность ограничена.

Ответ

Да, последовательность ограничена.