Упр.682 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Последовательность $$\left(a_n\right)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$a_2+a_5=6$$, $$a_3\cdot a_4=-11{,}25$$. Найдите первые шесть членов прогрессии, изобразите их точками в координатной плоскости и напишите уравнение прямой, на которой лежат эти точки.
- Является ли ограниченной последовательность $$\left(x_n\right)$$, если $$x_n=\begin{cases}\left(-\frac14\right)^n, & \text{при нечётном } n,\\\left(-\frac12\right)^n, & \text{при чётном } n?\end{cases}$$
Рассмотрим последовательность
$$x_n= \begin{cases} \left(-\dfrac14\right)^n, & \text{при нечётном } n,\\ \left(-\dfrac12\right)^n, & \text{при чётном } n. \end{cases}$$
Если $$n$$ нечётное, то
$$\left(-\dfrac14\right)^n<0,\qquad \left|\left(-\dfrac14\right)^n\right|=\left(\dfrac14\right)^n\le \dfrac14.$$
Значит, для нечётных $$n$$
$$-\dfrac14 \le \left(-\dfrac14\right)^n < 0.$$
Если $$n$$ чётное, то
$$\left(-\dfrac12\right)^n=\left(\dfrac12\right)^n>0,\qquad \left(\dfrac12\right)^n\le \dfrac14 \quad \text{при } n\ge 2.$$
Следовательно, для чётных $$n$$
$$0<\left(-\dfrac12\right)^n\le \dfrac14.$$
Итак, все члены последовательности лежат в промежутке
$$-\dfrac14 \le x_n \le \dfrac14.$$
Значит, последовательность ограничена.
Ответ
Да, последовательность ограничена.
