Упр.681 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) a_n=-1/3·6^n; в) a_n=n/(4n+1); д) a_n=(-1)^(n+1) n/(n+1);
б) a_n=(-1)^n/(n+5); г) a_n=6·(-1/3)^n; е) a_n=((-1)^n-(-1)^(n+1))/n?

Подробный ответ

$$a_n=-\frac13\cdot 6^n$$
При $$n\ge 1$$ имеем $$6^n\ge 6$$, значит
$$a_n\le -\frac13\cdot 6=-2.$$
Следовательно, последовательность ограничена сверху числом $$-2$$, но не ограничена снизу.
Ответ: нет.
$$a_n=\frac{(-1)^n}{n+5}$$
При $$n\ge 1$$ получаем $$n+5\ge 6$$, поэтому
$$-\frac16\le \frac{(-1)^n}{n+5}\le \frac17.$$
Значит, последовательность ограничена.
Ответ: да.
$$a_n=\frac{n}{4n+1}$$
Преобразуем:
$$ a_n=\frac14\cdot \frac{4n+1-1}{4n+1} =\frac14-\frac{1}{4(4n+1)}. $$
Так как при $$n\ge 1$$ число $$4n+1\ge 5$$, то
$$0<\frac{n}{4n+1}<\frac14.$$
Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: да.
$$a_n=6\cdot \left(-\frac13\right)^n$$
При $$n\ge 1$$
$$-\frac13\le \left(-\frac13\right)^n\le \frac19.$$
Умножая на $$6$$, получаем
$$-2\le 6\cdot \left(-\frac13\right)^n\le \frac23.$$
Значит, последовательность ограничена.
Ответ: да.
$$a_n=\frac{(-1)^{n+1}n}{n+1}$$
Так как $$n\ge 1$$, то $$n+1\ge 2$$, а значит
$$-1<\frac{(-1)^{n+1}n}{n+1}<1.$$
Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: да.
$$a_n=\frac{(-1)^n-(-1)^{n+1}}{n}$$
Поскольку $$(-1)^{n+1}=-(-1)^n$$, то
$$a_n=\frac{2(-1)^n}{n}.$$
При $$n\ge 1$$ имеем
$$-2\le \frac{2(-1)^n}{n}\le 2.$$
Значит, последовательность ограничена.
Ответ: да.