Упр.680 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) c_n=27-2,5n; б) c_n=36n-n^2,
является ограниченной сверху и не ограниченной снизу. Укажите номер, начиная с которого члены последовательности меньше 20; меньше —200.

Подробный ответ

а) $$c_n=27-2{,}5n$$

Найдём разность соседних членов:

$$ c_{n+1}-c_n=\bigl(27-2{,}5(n+1)\bigr)-(27-2{,}5n)=-2{,}5<0. $$

Значит, последовательность убывает, поэтому она ограничена сверху. Наибольший член — первый:

$$ c_1=27-2{,}5=24{,}5. $$

Последовательность меньше $$20$$, если

$$ 27-2{,}5n<20 \\ 2{,}5n>7 \\ n>2{,}8. $$

Следовательно, начиная с $$n=3$$, все члены последовательности меньше $$20$$.

Последовательность меньше $$-200$$, если

$$ 27-2{,}5n<-200 \\ 2{,}5n>227 \\ n>90{,}8. $$

Значит, начиная с $$n=91$$, все члены последовательности меньше $$-200$$.

б) $$c_n=36n-n^2$$

Найдём разность соседних членов:

$$ c_{n+1}-c_n=\bigl(36(n+1)-(n+1)^2\bigr)-(36n-n^2)=35-2n. $$

При $$n\ge 18$$ имеем $$35-2n<0$$, значит, начиная с этого номера последовательность убывает. Следовательно, она ограничена сверху. Проверим значения около вершины параболы:

$$ c_{17}=36\cdot 17-17^2=612-289=323, \\ c_{18}=36\cdot 18-18^2=648-324=324. $$

Наибольший член равен $$324$$, значит, последовательность ограничена сверху.

Последовательность меньше $$20$$, если

$$ 36n-n^2<20 \\ n^2-36n+20>0. $$

Найдём корни уравнения $$n^2-36n+20=0$$:

$$ D=36^2-4\cdot 20=1216, \\ n_{1,2}=\frac{36\pm\sqrt{1216}}{2}. $$

Приближённо:

$$ n_1\approx 0{,}6,\qquad n_2\approx 35{,}4. $$

Так как парабола направлена вверх, то

$$ n<0{,}6 \quad \text{или} \quad n>35{,}4. $$

Для натуральных $$n$$ это означает: начиная с $$n=36$$, все члены последовательности меньше $$20$$.

Последовательность меньше $$-200$$, если