Упр.68 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) y=16x/(x^2+1); в) y=v(16-x^2); д) y=|x-6|-1;
б) y=(x^2+1)/(8x); г) y=v(x^2-16); е) y=5-|x+3|.
а) $$y=\frac{16x}{x^2+1}$$
Преобразуем:
$$yx^2+y=16x$$
$$yx^2-16x+y=0$$Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных значений $$x$$ дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=16^2-4y^2\ge 0$$
$$256-4y^2\ge 0$$
$$64-y^2\ge 0$$
$$(y+8)(y-8)\le 0$$
$$-8\le y\le 8$$Следовательно, $$E(y)=[-8;8]$$. Функция ограничена.
б) $$y=\frac{x^2+1}{8x}$$
Преобразуем:
$$8xy=x^2+1$$
$$x^2-8yx+1=0$$Для существования действительных $$x$$:
$$D=(8y)^2-4\ge 0$$
$$64y^2-4\ge 0$$
$$16y^2-1\ge 0$$
$$(4y-1)(4y+1)\ge 0$$Отсюда:
$$y\le -\frac14 \quad \text{или} \quad y\ge \frac14$$
Значит, $$E(y)=(-\infty;-\frac14]\cup[\frac14;+\infty)$$. Функция не ограничена.
в) $$y=\sqrt{16-x^2}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$16-x^2\ge 0$$
$$x^2\le 16$$Так как корень квадратный неотрицателен, то
$$0\le y\le 4$$
Следовательно, $$E(y)=[0;4]$$. Функция ограничена.
г) $$y=\sqrt{x^2-16}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$x^2-16\ge 0$$
Значит, значение корня неотрицательно:
$$y\ge 0$$
Следовательно, $$E(y)=[0;+\infty)$$. Функция не ограничена.
д) $$y=|x-6|-1$$
Так как $$|x-6|\ge 0$$, то
$$y=|x-6|-1\ge -1$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;+\infty)$$. Функция не ограничена.
е) $$y=5-|x+3|$$
Так как $$|x+3|\ge 0$$, то
$$y=5-|x+3|\le 5$$
При этом при $$x=-3$$ получаем $$y=5$$, а при больших по модулю $$x$$ значение функции убывает без границ.
Следовательно, $$E(y)=(-\infty;5]$$. Функция не ограничена.
Ответ
а) $$[-8;8]$$, ограничена;
б) $$(-\infty;-\frac14]\cup[\frac14;+\infty)$$, не ограничена;
в) $$[0;4]$$, ограничена;
г) $$[0;+\infty)$$, не ограничена;
д) $$[-1;+\infty)$$, не ограничена;
е) $$(-\infty;5]$$, не ограничена.
