Упр.679 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) b_n=1,5n-6; б) b_n=n^2-4n,
является ограниченной снизу и не ограниченной сверху. Укажите номер, начиная с которого члены последовательности больше 140; больше 2000.

а) $$b_n=1{,}5n-6$$

Последовательность возрастающая, так как

$$b_{n+1}-b_n=\bigl(1{,}5(n+1)-6\bigr)-\bigl(1{,}5n-6\bigr)=1{,}5>0.$$

Значит, она ограничена снизу. Наименьший член при $n=1$:

$$b_1=1{,}5-6=-4{,}5.$$

Следовательно, $$b_n\ge -4{,}5.$$

Найдём номер, начиная с которого $$b_n>140$$:

$$1{,}5n-6>140$$
$$1{,}5n>146$$
$$n>\frac{292}{3}.$$

Так как $n$ — натуральное, получаем $$n\ge 98.$$

Теперь найдём номер, начиная с которого $$b_n>2000$$:

$$1{,}5n-6>2000$$
$$1{,}5n>2006$$
$$n>\frac{4012}{3}.$$

Значит, $$n\ge 1338.$$

б) $$b_n=n^2-4n$$

Рассмотрим разность соседних членов:

$$b_{n+1}-b_n=\bigl((n+1)^2-4(n+1)\bigr)-\bigl(n^2-4n\bigr)=2n-3.$$

При $n\ge 2$ имеем $$2n-3>0,$$ значит, начиная со второго члена последовательность возрастает. Проверим первые члены:

$$b_1=1-4=-3,\qquad b_2=4-8=-4.$$

Наименьший член равен $-4$, следовательно, последовательность ограничена снизу:

$$b_n\ge -4.$$

Так как $$b_n=n^2-4n\to +\infty,$$ последовательность не ограничена сверху.

Найдём номер, начиная с которого $$b_n>140$$:

$$n^2-4n>140$$
$$n^2-4n-140>0.$$

Найдём корни уравнения $$n^2-4n-140=0$$:

$$D=16+560=576,$$
$$n_{1,2}=\frac{4\pm 24}{2}.$$

Получаем $$n_1=-10,\qquad n_2=14.$$

Тогда $$n<-10 \text{ или } n>14.$$

Так как $n$ — натуральное, то $$n\ge 15.$$

Теперь найдём номер, начиная с которого $$b_n>2000$$:

$$n^2-4n>2000$$
$$n^2-4n-2000>0.$$

Найдём корни уравнения $$n^2-4n-2000=0$$:

$$D=16+8000=8016,$$
$$n_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{8016}}{2}.$$

Так как $$\sqrt{8016}\approx 89{,}5,$$ то

$$n_1\approx -42{,}75,\qquad n_2\approx 46{,}75.$$

Следовательно, при натуральных $n$ получаем $$n\ge 47.$$

Ответ

а) ограничена снизу: $$b_n\ge -4{,}5$$; не ограничена сверху; $$b_n>140$$ при $$n\ge 98$$, $$b_n>2000$$ при $$n\ge 1338$$.

б) ограничена снизу: $$b_n\ge -4$$; не ограничена сверху; $$b_n>140$$ при $$n\ge 15$$, $$b_n>2000$$ при $$n\ge 47$$.