Упр.678 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- В арифметической прогрессии $$\frac{a_5}{a_3}=\frac{7}{4}$$. Докажите, что $$a_7=4a_2$$.
- Докажите, что последовательность $$(a_n)$$ является монотонной и ограниченной, если:
а) $$a_n=\frac{n+3}{n+6}$$;
б) $$a_n=\frac{2n+2}{2n+1}$$.
Укажите два каких-либо числа, являющихся соответственно нижней и верхней границей последовательности.
а) $$a_n=\frac{n+3}{n+6}$$
Преобразуем общий член:
$$a_n=\frac{(n+6)-3}{n+6}=1-\frac{3}{n+6}.$$
Так как $$\frac{3}{n+6}>0,$$ то
$$a_n<1.$$
Найдём разность соседних членов:
$$a_{n+1}=\frac{n+4}{n+7},$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+4)(n+6)-(n+3)(n+7)}{(n+6)(n+7)}.$$
Раскроем скобки:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+10n+24-(n^2+10n+21)}{(n+6)(n+7)}=\frac{3}{(n+6)(n+7)}>0.$$
Значит, последовательность возрастающая.
Кроме того, при $$n\ge 1$$ имеем
$$a_n=\frac{n+3}{n+6}\ge \frac{1+3}{1+6}=\frac47.$$
Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$\frac47$$ и сверху числом $$1$$.
б) $$a_n=\frac{2n+2}{2n+1}$$
Преобразуем общий член:
$$a_n=\frac{(2n+1)+1}{2n+1}=1+\frac{1}{2n+1}.$$
Так как $$\frac{1}{2n+1}>0,$$ то
$$a_n>1.$$
Найдём разность соседних членов:
$$a_{n+1}=\frac{2n+4}{2n+3},$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(2n+4)(2n+1)-(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}.$$
Раскроем скобки:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{4n^2+10n+4-(4n^2+10n+6)}{(2n+1)(2n+3)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}<0.$$
Значит, последовательность убывающая.
При $$n\ge 1$$ получаем
$$a_n=\frac{2n+2}{2n+1}\le \frac{2\cdot 1+2}{2\cdot 1+1}=\frac43.$$
Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$1$$ и сверху числом $$\frac43$$.
Ответ
а) последовательность возрастающая, $$\frac47\le a_n<1$$; нижняя граница — $$\frac47$$, верхняя — $$1$$.
б) последовательность убывающая, $$1<a_n\le \frac43$$; нижняя граница — $$1$$, верхняя — $$\frac43$$.
