Упр.678 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) a_n=(n+3)/(n+6); б) a_n=(2n+2)/(2n+1).
Укажите два каких-либо числа, являющихся соответственно нижней и верхней границей последовательности.

а) $$a_n=\frac{n+3}{n+6}$$

Преобразуем общий член:

$$a_n=\frac{(n+6)-3}{n+6}=1-\frac{3}{n+6}.$$

Так как $$\frac{3}{n+6}>0,$$ то

$$a_n<1.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ a_{n+1}=\frac{n+4}{n+7}, $$

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{(n+4)(n+6)-(n+3)(n+7)}{(n+6)(n+7)}. $$

Раскроем скобки:

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+10n+24-(n^2+10n+21)}{(n+6)(n+7)}=\frac{3}{(n+6)(n+7)}>0. $$

Значит, последовательность возрастающая.

Кроме того, при $$n\ge 1$$ имеем

$$a_n=\frac{n+3}{n+6}\ge \frac{1+3}{1+6}=\frac47.$$

Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$\frac47$$ и сверху числом $$1$$.

б) $$a_n=\frac{2n+2}{2n+1}$$

Преобразуем общий член:

$$a_n=\frac{(2n+1)+1}{2n+1}=1+\frac{1}{2n+1}.$$

Так как $$\frac{1}{2n+1}>0,$$ то

$$a_n>1.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ a_{n+1}=\frac{2n+4}{2n+3}, $$

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{(2n+4)(2n+1)-(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Раскроем скобки:

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{4n^2+10n+4-(4n^2+10n+6)}{(2n+1)(2n+3)}=-\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}<0. $$

Значит, последовательность убывающая.

При $$n\ge 1$$ получаем

$$a_n=\frac{2n+2}{2n+1}\le \frac{2\cdot 1+2}{2\cdot 1+1}=\frac43.$$

Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$1$$ и сверху числом $$\frac43$$.

Ответ

а) последовательность возрастающая, $$\frac47\le a_n<1$$; нижняя граница — $$\frac47$$, верхняя — $$1$$.

б) последовательность убывающая, $$1<a_n\le \frac43$$; нижняя граница — $$1$$, верхняя — $$\frac43$$.