Упр.675 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x^2-y=15, x^2 y=16};
б) {x+y^2=8, xy^2=-9};
в) {x^2+xy=6, xy+y^2=-2}.

1. а)

   $$\begin{cases} x^2-y=15,\\ x^2y=16. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2=y+15.$$
   Подставим во второе:
   $$ (y+15)y=16, $$
   $$ y^2+15y-16=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=15^2+4\cdot 16=225+64=289, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{2}. $$
   Тогда
   $$ y_1=-16,\quad y_2=1. $$
   При $y=-16$ получаем
   $$ x^2=-16+15=-1, $$
   действительных решений нет.
   При $y=1$:
   $$ x^2=1+15=16, $$
   $$ x=\pm 4. $$

   Ответ: $(-4; 1)$, $(4; 1)$.

2. б)

   $$\begin{cases} x+y^2=8,\\ xy^2=-9. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$ y^2=8-x. $$
   Подставим во второе:
   $$ x(8-x)=-9, $$
   $$ x^2-8x-9=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=8^2+4\cdot 9=64+36=100, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}. $$
   Тогда
   $$ x_1=-1,\quad x_2=9. $$
   Если $x=-1$, то
   $$ y^2=8-(-1)=9, $$
   $$ y=\pm 3. $$
   Если $x=9$, то
   $$ y^2=8-9=-1, $$
   действительных решений нет.

   Ответ: $(-1; -3)$, $(-1; 3)$.

3. в)

   $$\begin{cases} x^2+xy=6,\\ xy+y^2=-2. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$ x^2+2xy+y^2=4, $$
   $$ (x+y)^2=4. $$
   Значит,
   $$ x+y=\pm 2. $$
   1) Если $$x+y=2,$$ то из первого уравнения
   $$ x(x+y)=6, $$
   $$ 2x=6, \quad x=3, $$
   $$ y=2-3=-1. $$
   2) Если $$x+y=-2,$$ то
   $$ x(x+y)=6, $$
   $$ -2x=6, \quad x=-3, $$
   $$ y=-2-(-3)=1. $$

   Ответ: $(-3; 1)$, $(3; -1)$.