Упр.674 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Могут ли быть членами одной арифметической прогрессии (не обязательно последовательными) числа: а) $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{8}$$, $$\sqrt{128}$$; б) $$3$$, $$\sqrt{5}$$, $$7$$?
2. Найдите, если возможно, наименьший член последовательности $$(b_n)$$, если: а) $$b_n=2{,}7n-2$$; б) $$b_n=n^2-6n+9$$; в) $$b_n=\left(-\frac{1}{3}\right)^n$$.

а) $$b_n=2{,}7n-2$$

Это линейная последовательность с положительной разностью:

$$b_{n+1}-b_n=\bigl(2{,}7(n+1)-2\bigr)-\bigl(2{,}7n-2\bigr)=2{,}7>0.$$

Значит, последовательность возрастает, поэтому наименьший член — первый:

$$b_1=2{,}7\cdot 1-2=0{,}7.$$

б) $$b_n=n^2-6n+9=(n-3)^2$$

Так как квадрат неотрицателен, то

$$b_n=(n-3)^2\ge 0.$$

Минимум достигается при $$n=3$$:

$$b_3=(3-3)^2=0.$$

в) $$b_n=\left(-\frac13\right)^n$$

Члены последовательности по модулю убывают, но знаки чередуются:

$$b_1=-\frac13,\quad b_2=\frac19,\quad b_3=-\frac1{27},\quad b_4=\frac1{81},\dots$$

Отрицательные члены есть при нечётных $$n$$, и их значения становятся всё ближе к нулю. Наименьшего члена последовательность не имеет, так как каждый следующий отрицательный член больше предыдущего по значению, а наименьшее число среди них не достигается.

Ответ

а) $$0{,}7$$; б) $$0$$; в) не существует.