Упр.673 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Между числами $$2$$ и $$42$$ вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна $$56$$.
2. Найдите, если возможно, наибольший член последовательности $$(a_n)$$, если:
   а) $$a_n=13-4n$$;
   б) $$a_n=-n^2+5$$;
   в) $$a_n=\frac{3n-1}{n+2}$$.

а) $$a_n=13-4n$$

Найдём разность соседних членов:

$$a_{n+1}=13-4(n+1)=13-4n-4=9-4n,$$

$$a_{n+1}-a_n=(9-4n)-(13-4n)=-4<0.$$

Значит, последовательность убывает, поэтому наибольший член — первый:

$$a_1=13-4\cdot 1=9.$$

б) $$a_n=-n^2+5$$

Найдём разность соседних членов:

$$a_{n+1}=-(n+1)^2+5=-n^2-2n-1+5=-n^2-2n+4,$$

$$a_{n+1}-a_n=(-n^2-2n+4)-(-n^2+5)=-2n-1<0.$$

Следовательно, последовательность убывает, и наибольший член — первый:

$$a_1=-1^2+5=4.$$

в) $$a_n=\frac{3n-1}{n+2}$$

Найдём разность:

$$a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{(n+1)+2}=\frac{3n+2}{n+3},$$

$$a_{n+1}-a_n=\frac{3n+2}{n+3}-\frac{3n-1}{n+2}=\frac{(3n+2)(n+2)-(3n-1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}.$$

Раскроем скобки:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{3n^2+8n+4-(3n^2+8n-3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{7}{(n+2)(n+3)}>0.$$

Значит, последовательность возрастает, поэтому наибольшего члена не существует.

Ответ

а) $$9$$; б) $$4$$; в) не существует.