Упр.672 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Между числами $$14$$ и $$2$$ вставьте семь чисел, которые вместе с данными числами составят арифметическую прогрессию.
2. При каких значениях параметра $$a$$ последовательность $$(u_n)$$ является возрастающей и при каких — убывающей, если:
   а) $$u_n=\frac{n^2-4an}{n^2}$$;
   б) $$u_n=\frac{5n-a}{n+2}$$?

а) Рассмотрим разность соседних членов последовательности:

$$u_n=\frac{n^2-4an}{n^2}=\frac{n-4a}{n}, \qquad u_{n+1}=\frac{n+1-4a}{n+1}.$$

Тогда

$$u_{n+1}-u_n= \frac{(n+1-4a)n-(n-4a)(n+1)}{n(n+1)}.$$

Упростим числитель:

$$(n+1-4a)n-(n-4a)(n+1)=4a.$$

Значит,

$$u_{n+1}-u_n=\frac{4a}{n(n+1)}.$$

Так как $$n(n+1)>0$$ при $$n\ge 1$$, знак разности определяется знаком $$a$$:

• если $$a>0$$, то $$u_{n+1}-u_n>0$$, последовательность возрастает;
• если $$a<0$$, то $$u_{n+1}-u_n<0$$, последовательность убывает;
• если $$a=0$$, то $$u_{n+1}-u_n=0$$, последовательность постоянна.

б) Найдём разность:

$$u_n=\frac{5n-a}{n+2}, \qquad u_{n+1}=\frac{5(n+1)-a}{(n+1)+2}=\frac{5n+5-a}{n+3}.$$

Тогда

$$u_{n+1}-u_n= \frac{(5n+5-a)(n+2)-(5n-a)(n+3)}{(n+2)(n+3)}.$$

Упростим числитель:

$$(5n+5-a)(n+2)-(5n-a)(n+3)=a+10.$$

Следовательно,

$$u_{n+1}-u_n=\frac{a+10}{(n+2)(n+3)}.$$

Так как $$(n+2)(n+3)>0$$ при $$n\ge 1$$, знак разности определяется знаком $$a+10$$:

• если $$a>-10$$, то последовательность возрастает;
• если $$a<-10$$, то последовательность убывает;
• если $$a=-10$$, то последовательность постоянна.

Ответ

а) возрастает при $$a>0$$, убывает при $$a<0$$ (при $$a=0$$ — постоянна);

б) возрастает при $$a>-10$$, убывает при $$a<-10$$ (при $$a=-10$$ — постоянна).