Упр.671 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) b_n=(5n+a)/n; б) b_n=n^2-a; в) b_n=(2n-a)^2?

1. а) $$b_n=\frac{5n+a}{n}=5+\frac{a}{n}.$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$ b_{n+1}-b_n=\frac{5(n+1)+a}{n+1}-\frac{5n+a}{n} =\frac{(5n+5+a)n-(5n+a)(n+1)}{n(n+1)}. $$

   Упростим числитель:

   $$ (5n+5+a)n-(5n+a)(n+1)=-a. $$

   Тогда

   $$ b_{n+1}-b_n=\frac{-a}{n(n+1)}. $$

   Так как $$n(n+1)>0$$, то для возрастания нужно, чтобы

   $$-a>0,$$

   то есть $$a<0.$$

2. б) $$b_n=n^2-a.$$

   Тогда

   $$ b_{n+1}=(n+1)^2-a=n^2+2n+1-a. $$

   Разность:

   $$ b_{n+1}-b_n=(n^2+2n+1-a)-(n^2-a)=2n+1. $$

   Для всех натуральных $$n$$ имеем $$2n+1>0$$, значит последовательность возрастает при любом значении параметра $$a$$.

3. в) $$b_n=(2n-a)^2.$$

   Тогда

   $$ b_{n+1}=(2(n+1)-a)^2=(2n+2-a)^2. $$

   Найдём разность:

   $$ b_{n+1}-b_n=(2n+2-a)^2-(2n-a)^2. $$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$ b_{n+1}-b_n=\bigl((2n+2-a)-(2n-a)\bigr)\bigl((2n+2-a)+(2n-a)\bigr) =2(4n+2-2a). $$

   Для возрастания нужно:

   $$ 2(4n+2-2a)>0 \quad \Longleftrightarrow \quad 4n+2-2a>0. $$

   Так как это должно выполняться при всех натуральных $$n$$, достаточно проверить наименьшее $$n=1$$:

   $$ 4\cdot 1+2-2a>0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6-2a>0 \quad \Longleftrightarrow \quad a<3. $$

Ответ

а) $$(-\infty;0)$$; б) $$(-\infty;+\infty)$$; в) $$(-\infty;3)$$.