Упр.671 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Известно, что $$(a_n)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$a_1=6$$, $$d=8$$, а $$(b_n)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$b_1=2$$, $$d=3$$. Каждая из последовательностей содержит по 40 членов. Найдите все одинаковые члены последовательностей.
2. При каких значениях параметра $$a$$ является возрастающей последовательность $$(b_n)$$, заданная формулой:
   а) $$b_n=\frac{5n+a}{n}$$;
   б) $$b_n=n^2-a$$;
   в) $$b_n=(2n-a)^2$$?

1. а) $$b_n=\frac{5n+a}{n}=5+\frac{a}{n}.$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$b_{n+1}-b_n=\frac{5(n+1)+a}{n+1}-\frac{5n+a}{n} =\frac{(5n+5+a)n-(5n+a)(n+1)}{n(n+1)}.$$

   Упростим числитель:

   $$(5n+5+a)n-(5n+a)(n+1)=-a.$$

   Тогда

   $$b_{n+1}-b_n=\frac{-a}{n(n+1)}.$$

   Так как $$n(n+1)>0$$, то для возрастания нужно, чтобы

   $$-a>0,$$

   то есть $$a<0.$$

2. б) $$b_n=n^2-a.$$

   Тогда

   $$b_{n+1}=(n+1)^2-a=n^2+2n+1-a.$$

   Разность:

   $$b_{n+1}-b_n=(n^2+2n+1-a)-(n^2-a)=2n+1.$$

   Для всех натуральных $$n$$ имеем $$2n+1>0$$, значит последовательность возрастает при любом значении параметра $$a$$.

3. в) $$b_n=(2n-a)^2.$$

   Тогда

   $$b_{n+1}=(2(n+1)-a)^2=(2n+2-a)^2.$$

   Найдём разность:

   $$b_{n+1}-b_n=(2n+2-a)^2-(2n-a)^2.$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$b_{n+1}-b_n=\bigl((2n+2-a)-(2n-a)\bigr)\bigl((2n+2-a)+(2n-a)\bigr) =2(4n+2-2a).$$

   Для возрастания нужно:

   $$2(4n+2-2a)>0 \quad \Longleftrightarrow \quad 4n+2-2a>0.$$

   Так как это должно выполняться при всех натуральных $$n$$, достаточно проверить наименьшее $$n=1$$:

   $$4\cdot 1+2-2a>0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6-2a>0 \quad \Longleftrightarrow \quad a<3.$$

Ответ

а) $$(-\infty;0)$$; б) $$(-\infty;+\infty)$$; в) $$(-\infty;3)$$.