Упр.670 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Число 17 встречается в каждой из арифметических прогрессий $$(a_n)$$ и $$(b_n)$$: $$5, 8, 11, 14, 17, \ldots, a_n, \ldots$$; $$9, 17, 25, 33, \ldots, b_n, \ldots$$. Укажите следующий член, который встречается в обеих прогрессиях, и его номер в каждой из них.
- Определите, возрастающей или убывающей является последовательность, если:
а) $$a_n=\sqrt{n}-5$$;
б) $$a_n=\frac{3}{\sqrt{n}}$$;
в) $$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$;
г) $$a_n=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+2}$$.
$$a_n=\sqrt{n}-5$$
Найдём разность соседних членов:
$$a_{n+1}-a_n=\left(\sqrt{n+1}-5\right)-\left(\sqrt{n}-5\right)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$
Так как $$\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$$, то $$a_{n+1}-a_n>0$$. Следовательно, последовательность возрастает.
$$a_n=\frac{3}{\sqrt{n}}$$
Тогда
$$a_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{n+1}}$$
Разность:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{3}{\sqrt{n+1}}-\frac{3}{\sqrt{n}}=\frac{3(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$$
Числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит $$a_{n+1}-a_n<0$$. Следовательно, последовательность убывает.
$$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$
Тогда
$$a_{n+1}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$$
Найдём разность:
$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$$
Проверим знак:
$$\sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}$$
Возведём в квадрат:
$$n+2+2\sqrt{n^2+2n}+n<4n+4$$
$$2\sqrt{n^2+2n}<2n+2$$
$$\sqrt{n^2+2n}<n+1$$
$$n^2+2n<n^2+2n+1$$
Это верно при всех $$n$$, значит $$a_{n+1}-a_n<0$$. Следовательно, последовательность убывает.
$$a_n=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+2}$$
Тогда
$$a_{n+1}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+2}$$
Рассмотрим разность:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+2)-(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n+1}+2)}{(\sqrt{n}+2)(\sqrt{n+1}+2)}$$
После раскрытия скобок получаем:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{3(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n}+2)(\sqrt{n+1}+2)}$$
Числитель положителен, знаменатель тоже положителен, значит $$a_{n+1}-a_n>0$$. Следовательно, последовательность возрастает.
Ответ
а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.
