Упр.670 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) a_n=vn-5; в) a_n=v(n+1)-vn;
б) a_n=3/vn; г) a_n=(vn-1)/(vn+2).

1. $$a_n=\sqrt{n}-5$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$a_{n+1}-a_n=\left(\sqrt{n+1}-5\right)-\left(\sqrt{n}-5\right)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

   Так как $$\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$$, то $$a_{n+1}-a_n>0$$. Следовательно, последовательность возрастает.

2. $$a_n=\frac{3}{\sqrt{n}}$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=\frac{3}{\sqrt{n+1}}$$

   Разность:

   $$a_{n+1}-a_n=\frac{3}{\sqrt{n+1}}-\frac{3}{\sqrt{n}}=\frac{3(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$$

   Числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит $$a_{n+1}-a_n<0$$. Следовательно, последовательность убывает.

3. $$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$$

   Найдём разность:

   $$a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$$

   Проверим знак:

   $$\sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}$$

   Возведём в квадрат:

   $$n+2+2\sqrt{n^2+2n}+n<4n+4$$

   $$2\sqrt{n^2+2n}<2n+2$$

   $$\sqrt{n^2+2n}<n+1$$

   $$n^2+2n<n^2+2n+1$$

   Это верно при всех $$n$$, значит $$a_{n+1}-a_n<0$$. Следовательно, последовательность убывает.

4. $$a_n=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+2}$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+2}$$

   Рассмотрим разность:

   $$a_{n+1}-a_n=\frac{(\sqrt{n+1}-1)(\sqrt{n}+2)-(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n+1}+2)}{(\sqrt{n}+2)(\sqrt{n+1}+2)}$$

   После раскрытия скобок получаем:

   $$a_{n+1}-a_n=\frac{3(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n}+2)(\sqrt{n+1}+2)}$$

   Числитель положителен, знаменатель тоже положителен, значит $$a_{n+1}-a_n>0$$. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ

а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.