Упр.668 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) a_n=-7^n; г) a_n=(-1)^n 15/n; ж) a_n=n^2-36n;
б) a_n=(5n+2)/(n+4); д) a_n=0,4n^2+1,2; з) a_n=(n+2)/(n^2+4).
в) a_n=(3n-1)/(3n-7,5); е) a_n=(n^2+2n+1)/(n+2);

Подробный ответ

а) $$a_n=-7^n$$
$$a_{n+1}=-7^{n+1}=-7^n\cdot 7$$
$$a_{n+1}-a_n=-7^n\cdot 7-(-7^n)=-6\cdot 7^n<0$$
Следовательно, последовательность убывает.
б) $$a_n=\frac{5n+2}{n+4}$$
$$a_{n+1}=\frac{5(n+1)+2}{(n+1)+4}=\frac{5n+7}{n+5}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(5n+7)(n+4)-(5n+2)(n+5)}{(n+4)(n+5)}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{18}{(n+4)(n+5)}>0$$
Следовательно, последовательность возрастает.
в) $$a_n=\frac{3n-1}{3n-7{,}5}$$
$$a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{3(n+1)-7{,}5}=\frac{3n+2}{3n-4{,}5}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(3n+2)(3n-7{,}5)-(3n-1)(3n-4{,}5)}{(3n-7{,}5)(3n-4{,}5)}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{19{,}5}{(3n-7{,}5)(3n-4{,}5)}$$
Знак разности зависит от $n$, поэтому последовательность не является монотонной.
г) $$a_n=\frac{(-1)^n\cdot 15}{n}$$
$$a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 15}{n+1}$$
Знаки соседних членов чередуются, поэтому последовательность не является монотонной.
д) $$a_n=0{,}4n^2+1{,}2$$
$$a_{n+1}=0{,}4(n+1)^2+1{,}2=0{,}4n^2+0{,}8n+1{,}6$$
$$a_{n+1}-a_n=0{,}8n+0{,}4>0$$
Следовательно, последовательность возрастает.
е) $$a_n=\frac{n^2+2n+1}{n+2}$$
$$a_{n+1}=\frac{(n+1)^2+2(n+1)+1}{(n+1)+2}=\frac{n^2+4n+4}{n+3}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n^2+4n+4)(n+2)-(n^2+2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{n^2+5n+5}{(n+2)(n+3)}>0$$
Следовательно, последовательность возрастает.
ж) $$a_n=n^2-36n$$
$$a_{n+1}=(n+1)^2-36(n+1)=n^2-34n-35$$
$$a_{n+1}-a_n=2n-35$$
Знак разности меняется при разных значениях $n$, значит последовательность не является монотонной.
з) $$a_n=\frac{n+2}{n^2+4}$$
$$a_{n+1}=\frac{n+3}{(n+1)^2+4}=\frac{n+3}{n^2+2n+5}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+3)(n^2+4)-(n+2)(n^2+2n+5)}{(n^2+4)(n^2+2n+5)}$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{-n^2-5n+2}{(n^2+4)(n^2+2n+5)}<0$$
Следовательно, последовательность убывает.