Упр.667 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) c_n=n^2-9n-22; в) c_n=0,1n^2-n;
б) c_n=(3n-1)/(3n-5); г) c_n=(-1)^n n/(n+4).

1. а) $$c_n=n^2-9n-22$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$ c_{n+1}=(n+1)^2-9(n+1)-22=n^2-7n-30 $$

   $$ c_{n+1}-c_n=(n^2-7n-30)-(n^2-9n-22)=2n-8 $$

   Разность меняет знак при разных $n$, значит последовательность не является монотонной.

2. б) $$c_n=\frac{3n-1}{3n-5}$$

   Найдём разность:

   $$ c_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{3(n+1)-5}=\frac{3n+2}{3n-2} $$

   $$ c_{n+1}-c_n=\frac{3n+2}{3n-2}-\frac{3n-1}{3n-5} $$

   $$ c_{n+1}-c_n= \frac{(3n+2)(3n-5)-(3n-1)(3n-2)}{(3n-2)(3n-5)} $$

   $$ c_{n+1}-c_n= \frac{9n^2-15n+6n-10-9n^2+9n+2}{(3n-2)(3n-5)} = \frac{12}{(3n-2)(3n-5)} $$

   При разных $n$ знак разности может меняться, значит последовательность не является монотонной.

3. в) $$c_n=0{,}1n^2-n$$

   Тогда

   $$ c_{n+1}=0{,}1(n+1)^2-(n+1) $$

   $$ c_{n+1}=0{,}1n^2+0{,}2n+0{,}1-n-1=0{,}1n^2-0{,}8n-0{,}9 $$

   $$ c_{n+1}-c_n=(0{,}1n^2-0{,}8n-0{,}9)-(0{,}1n^2-n)=0{,}2n-0{,}9 $$

   Эта разность меняет знак при разных $n$, значит последовательность не является монотонной.

4. г) $$c_n=\frac{(-1)^n n}{n+4}$$

   Найдём следующий член:

   $$ c_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n+5} $$

   Разность:

   $$ c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n+5}-\frac{(-1)^n n}{n+4} $$

   $$ c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)(n+4)-(-1)^n n(n+5)}{(n+4)(n+5)} $$

   $$ c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}\bigl((n+1)(n+4)+n(n+5)\bigr)}{(n+4)(n+5)} $$

   $$ c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}(2n^2+10n+4)}{(n+4)(n+5)} $$

   Знак разности зависит от чётности $n$, поэтому последовательность не является монотонной.

Ответ

Во всех четырёх случаях последовательность не является монотонной.