Упр.667 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Известно, что $$(a_n)$$ — арифметическая прогрессия, разность которой равна $$d$$. Является ли арифметической прогрессией последовательность, и если да, то какова её разность:
а) $$a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{2n}, \ldots$$;
в) $$a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots, a_n^2, \ldots$$;
б) $$-a_1, -a_2, -a_4, \ldots, -a_n, \ldots$$;
г) $$ma_1, ma_2, ma_3, \ldots, ma_n, \ldots$$;
д) $$a_1+1, a_2+2, a_3+3, \ldots, a_n+n, \ldots$$;
е) $$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots, \frac{1}{a_n}, \ldots$$? - Докажите, что последовательность $$(c_n)$$ не является монотонной, если:
а) $$c_n=n^2-9n-22$$;
в) $$c_n=0{,}1n^2-n$$;
б) $$c_n=\frac{3n-1}{3n-5}$$;
г) $$c_n=\frac{(-1)^n n}{n+4}$$.
а) $$c_n=n^2-9n-22$$
Найдём разность соседних членов:
$$c_{n+1}=(n+1)^2-9(n+1)-22=n^2-7n-30$$
$$c_{n+1}-c_n=(n^2-7n-30)-(n^2-9n-22)=2n-8$$
Разность меняет знак при разных $$n$$, значит последовательность не является монотонной.
б) $$c_n=\frac{3n-1}{3n-5}$$
Найдём разность:
$$c_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{3(n+1)-5}=\frac{3n+2}{3n-2}$$
$$c_{n+1}-c_n=\frac{3n+2}{3n-2}-\frac{3n-1}{3n-5}$$
$$c_{n+1}-c_n= \frac{(3n+2)(3n-5)-(3n-1)(3n-2)}{(3n-2)(3n-5)}$$
$$c_{n+1}-c_n= \frac{9n^2-15n+6n-10-9n^2+9n+2}{(3n-2)(3n-5)} = \frac{12}{(3n-2)(3n-5)}$$
При разных $$n$$ знак разности может меняться, значит последовательность не является монотонной.
в) $$c_n=0{,}1n^2-n$$
Тогда
$$c_{n+1}=0{,}1(n+1)^2-(n+1)$$
$$c_{n+1}=0{,}1n^2+0{,}2n+0{,}1-n-1=0{,}1n^2-0{,}8n-0{,}9$$
$$c_{n+1}-c_n=(0{,}1n^2-0{,}8n-0{,}9)-(0{,}1n^2-n)=0{,}2n-0{,}9$$
Эта разность меняет знак при разных $$n$$, значит последовательность не является монотонной.
г) $$c_n=\frac{(-1)^n n}{n+4}$$
Найдём следующий член:
$$c_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n+5}$$
Разность:
$$c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n+5}-\frac{(-1)^n n}{n+4}$$
$$c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}(n+1)(n+4)-(-1)^n n(n+5)}{(n+4)(n+5)}$$
$$c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}\bigl((n+1)(n+4)+n(n+5)\bigr)}{(n+4)(n+5)}$$
$$c_{n+1}-c_n= \frac{(-1)^{n+1}(2n^2+10n+4)}{(n+4)(n+5)}$$
Знак разности зависит от чётности $$n$$, поэтому последовательность не является монотонной.
Ответ
Во всех четырёх случаях последовательность не является монотонной.
