Упр.666 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите область определения и область значений функции, заданной формулой: а) $$y=\frac{1}{x^2-x}$$; б) $$y=\sqrt{x-x^2}$$.
2. Докажите, что последовательность $$(b_n)$$, где $$b_n=\frac{n+8}{2n+1}$$, является убывающей. Изобразите на координатной плоскости первые четыре члена этой последовательности.

Преобразуем общий член последовательности:

$$b_n=\frac{n+8}{2n+1}=\frac{0{,}5(2n+1)+7{,}5}{2n+1}= \frac12+\frac{7{,}5}{2n+1}.$$

Тогда

$$b_{n+1}=\frac12+\frac{7{,}5}{2n+3}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$b_{n+1}-b_n=\left(\frac12+\frac{7{,}5}{2n+3}\right)-\left(\frac12+\frac{7{,}5}{2n+1}\right)$$

$$b_{n+1}-b_n=\frac{7{,}5(2n+1)-7{,}5(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{-15}{(2n+1)(2n+3)}.$$

Так как при $$n\ge 1$$ знаменатель положителен, то

$$b_{n+1}-b_n<0.$$

Следовательно, последовательность $$(b_n)$$ убывает.

Найдём первые четыре члена:

$$b_1=\frac{1+8}{2\cdot1+1}=\frac93=3, \qquad b_2=\frac{2+8}{2\cdot2+1}=\frac{10}{5}=2,$$

$$b_3=\frac{3+8}{2\cdot3+1}=\frac{11}{7}, \qquad b_4=\frac{4+8}{2\cdot4+1}=\frac{12}{9}=\frac43.$$

На координатной плоскости нужно отметить точки:

$$(1;3),\ (2;2),\ \left(3;\frac{11}{7}\right),\ \left(4;\frac43\right).$$

Ответ

Последовательность убывающая; первые четыре члена: $$3,\ 2,\ \frac{11}{7},\ \frac43.$$