Упр.666 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 666. Докажите, что последовательность (b_n), где b_n=(n+8)/(2n+1), является убывающей. Изобразите на координатной плоскости первые четыре члена этой последовательности.

Преобразуем общий член последовательности:

$$ b_n=\frac{n+8}{2n+1}=\frac{0{,}5(2n+1)+7{,}5}{2n+1}= \frac12+\frac{7{,}5}{2n+1}. $$

Тогда

$$ b_{n+1}=\frac12+\frac{7{,}5}{2n+3}. $$

Найдём разность соседних членов:

$$ b_{n+1}-b_n=\left(\frac12+\frac{7{,}5}{2n+3}\right)-\left(\frac12+\frac{7{,}5}{2n+1}\right) $$

$$ b_{n+1}-b_n=\frac{7{,}5(2n+1)-7{,}5(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{-15}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Так как при $n\ge 1$ знаменатель положителен, то

$$ b_{n+1}-b_n<0. $$

Следовательно, последовательность $(b_n)$ убывает.

Найдём первые четыре члена:

$$ b_1=\frac{1+8}{2\cdot1+1}=\frac93=3, \qquad b_2=\frac{2+8}{2\cdot2+1}=\frac{10}{5}=2, $$

$$ b_3=\frac{3+8}{2\cdot3+1}=\frac{11}{7}, \qquad b_4=\frac{4+8}{2\cdot4+1}=\frac{12}{9}=\frac43. $$

На координатной плоскости нужно отметить точки:

$$ (1;3),\ (2;2),\ \left(3;\frac{11}{7}\right),\ \left(4;\frac43\right). $$

Ответ

Последовательность убывающая; первые четыре члена: $$3,\ 2,\ \frac{11}{7},\ \frac43.$$