Упр.665 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 665. Докажите, что последовательность (a_n), где a_n=(5n-1)/(n+2), является возрастающей. Изобразите на координатной плоскости первые четыре члена этой последовательности.

Найдём разность соседних членов последовательности:

$$ a_n=\frac{5n-1}{n+2}=\frac{5(n+2)-11}{n+2}=5-\frac{11}{n+2}. $$

Тогда

$$ a_{n+1}=5-\frac{11}{n+3}. $$

Вычислим разность:

$$ a_{n+1}-a_n=\left(5-\frac{11}{n+3}\right)-\left(5-\frac{11}{n+2}\right) =\frac{11}{n+2}-\frac{11}{n+3}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{11(n+3)-11(n+2)}{(n+2)(n+3)} =\frac{11}{(n+2)(n+3)}. $$

Так как при $n \ge 1$ знаменатель положителен, то

$$ a_{n+1}-a_n>0. $$

Следовательно, последовательность возрастающая.

Найдём первые четыре члена:

$$ a_1=\frac{5\cdot 1-1}{1+2}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}, $$

$$ a_2=\frac{5\cdot 2-1}{2+2}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}, $$

$$ a_3=\frac{5\cdot 3-1}{3+2}=\frac{14}{5}=2\frac{4}{5}, $$

$$ a_4=\frac{5\cdot 4-1}{4+2}=\frac{19}{6}=3\frac{1}{6}. $$

На координатной плоскости нужно отметить точки:

$$ (1;\tfrac{4}{3}),\ (2;\tfrac{9}{4}),\ (3;\tfrac{14}{5}),\ (4;\tfrac{19}{6}). $$

Ответ

Последовательность возрастающая; первые четыре члена: $$a_1=\frac{4}{3},\ a_2=\frac{9}{4},\ a_3=\frac{14}{5},\ a_4=\frac{19}{6}.$$