Упр.665 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что последовательность $$(x_n)$$ является возрастающей, если:
   а) $$x_n=\frac{3n-2}{n+1}$$;
   б) $$x_n=2^n-n$$.
2. Докажите, что последовательность $$(a_n)$$, где $$a_n=\frac{5n-1}{n+2}$$, является возрастающей. Изобразите на координатной плоскости первые четыре члена этой последовательности.

Найдём разность соседних членов последовательности:

$$a_n=\frac{5n-1}{n+2}=\frac{5(n+2)-11}{n+2}=5-\frac{11}{n+2}.$$

Тогда

$$a_{n+1}=5-\frac{11}{n+3}.$$

Вычислим разность:

$$a_{n+1}-a_n=\left(5-\frac{11}{n+3}\right)-\left(5-\frac{11}{n+2}\right) =\frac{11}{n+2}-\frac{11}{n+3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{11(n+3)-11(n+2)}{(n+2)(n+3)} =\frac{11}{(n+2)(n+3)}.$$

Так как при $$n \ge 1$$ знаменатель положителен, то

$$a_{n+1}-a_n>0.$$

Следовательно, последовательность возрастающая.

Найдём первые четыре члена:

$$a_1=\frac{5\cdot 1-1}{1+2}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3},$$

$$a_2=\frac{5\cdot 2-1}{2+2}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4},$$

$$a_3=\frac{5\cdot 3-1}{3+2}=\frac{14}{5}=2\frac{4}{5},$$

$$a_4=\frac{5\cdot 4-1}{4+2}=\frac{19}{6}=3\frac{1}{6}.$$

На координатной плоскости нужно отметить точки:

$$(1;\tfrac{4}{3}),\ (2;\tfrac{9}{4}),\ (3;\tfrac{14}{5}),\ (4;\tfrac{19}{6}).$$

Ответ

Последовательность возрастающая; первые четыре члена: $$a_1=\frac{4}{3},\ a_2=\frac{9}{4},\ a_3=\frac{14}{5},\ a_4=\frac{19}{6}.$$