Упр.664 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) a_n=(2n)/(n+1); б) a_n=8n-n^2.
Какое предположение о характере монотонности последовательности (a_n) можно сделать? Докажите или опровергните справедливость этого предположения.
а) $$a_n=\frac{2n}{n+1}$$
Найдём первые четыре члена последовательности:
$$a_1=\frac{2\cdot 1}{1+1}=\frac{2}{2}=1,$$
$$a_2=\frac{2\cdot 2}{2+1}=\frac{4}{3},$$
$$a_3=\frac{2\cdot 3}{3+1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},$$
$$a_4=\frac{2\cdot 4}{4+1}=\frac{8}{5}.$$Получаем: $$1,\ \frac{4}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5}.$$
Предположение: последовательность возрастает. Докажем это:
$$a_{n+1}=\frac{2(n+1)}{(n+1)+1}=\frac{2n+2}{n+2},$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{2n+2}{n+2}-\frac{2n}{n+1}.$$Приведём к общему знаменателю:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(2n+2)(n+1)-2n(n+2)}{(n+1)(n+2)}.$$$$a_{n+1}-a_n=\frac{2n^2+4n+2-2n^2-4n}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}.$$
Так как $$\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0$$ при любом натуральном $$n$$, то $$a_{n+1}>a_n$$. Следовательно, последовательность возрастает.
б) $$a_n=8n-n^2$$
Найдём первые четыре члена последовательности:
$$a_1=8\cdot 1-1^2=8-1=7,$$
$$a_2=8\cdot 2-2^2=16-4=12,$$
$$a_3=8\cdot 3-3^2=24-9=15,$$
$$a_4=8\cdot 4-4^2=32-16=16.$$Получаем: $$7,\ 12,\ 15,\ 16.$$
По первым членам можно предположить, что последовательность возрастает. Проверим:
$$a_{n+1}=8(n+1)-(n+1)^2,$$
$$a_{n+1}=8n+8-n^2-2n-1=7+6n-n^2.$$Тогда
$$a_{n+1}-a_n=(7+6n-n^2)-(8n-n^2)=7-2n.$$Знак разности зависит от $$n$$:
- если $$n=1,2,3$$, то $$7-2n>0$$, значит $$a_{n+1}>a_n$$;
- если $$n\ge 4$$, то $$7-2n<0$$, значит $$a_{n+1}<a_n$$.
Следовательно, последовательность не является монотонной: сначала возрастает, а затем убывает.
Ответ
а) $$1,\ \frac{4}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{8}{5}$$; последовательность возрастает.
б) $$7,\ 12,\ 15,\ 16$$; последовательность не является монотонной: при $$n=1,2,3$$ возрастает, при $$n\ge 4$$ убывает.
