Упр.661 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {x^2+y^2=41, xy=20};
б) {x^2+xy+y^2=37, x+xy+y=19}.

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$xy=20 \Rightarrow y=\frac{20}{x}, \quad x\ne 0.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+\left(\frac{20}{x}\right)^2=41.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-41x^2+400=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем:

$$t^2-41t+400=0.$$

$$D=41^2-4\cdot 400=1681-1600=81.$$

$$t_{1,2}=\frac{41\pm 9}{2}.$$

Отсюда:

$$t_1=16,\quad t_2=25.$$

Значит,

$$x=\pm 4 \quad \text{или} \quad x=\pm 5.$$

Тогда

$$y=\frac{20}{x}.$$

Получаем пары:

$$(-4;-5),\ (4;5),\ (-5;-4),\ (5;4).$$

б) Из второго уравнения выразим сумму:

$$x+y=19-xy.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+xy+y^2=37.$$

Так как $$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2,$$ то

$$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy.$$

Тогда

$$ (x+y)^2-xy=37.$$

Обозначим $$s=x+y$$, $$p=xy$$. Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} s^2-p=37,\\ s+p=19. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$p=19-s$$. Подставим в первое:

$$s^2-(19-s)=37,$$

$$s^2+s-56=0.$$

$$D=1+224=225,$$

$$s_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$s_1=-8,\quad s_2=7.$$

1) Если $$x+y=-8,$$ то $$xy=19-(-8)=27.$$ Тогда

$$t^2+8t+27=0,$$

$$D=64-108=-44<0,$$

действительных решений нет.

2) Если $$x+y=7,$$ то $$xy=19-7=12.$$ Тогда

$$t^2-7t+12=0,$$

$$t^2-7t+12=(t-3)(t-4)=0.$$

Следовательно,

$$x=3,\ y=4 \quad \text{или} \quad x=4,\ y=3.$$

Ответ

а) $$(-4;-5),\ (4;5),\ (-5;-4),\ (5;4).$$

б) $$(3;4),\ (4;3).$$