Упр.660 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 660. Решите неравенство: а) 2x^4-5x^2-12 < 0; б) x^3-5x^2-x+5 > 0.

а) Решим неравенство $$2x^4-5x^2-12<0.$$

Сделаем замену: $$t=x^2.$$ Тогда получаем

$$2t^2-5t-12<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D= (-5)^2-4\cdot 2\cdot(-12)=25+96=121,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 11}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=-\frac{3}{2}, \qquad t_2=4.$$

Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то

$$-\frac{3}{2}<t<4.$$

Но $$t=x^2\ge 0,$$ значит остаётся

$$0\le x^2<4,$$

то есть

$$-2<x<2.$$

б) Решим неравенство $$x^3-5x^2-x+5>0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2(x-5)-(x-5)>0,$$

$$ (x^2-1)(x-5)>0,$$

$$ (x-1)(x+1)(x-5)>0.$$

Критические точки: $$x=-1,\;1,\;5.$$

Исследуем знаки произведения на промежутках:

• при $$x<-1$$ произведение отрицательно;
• при $$-1<x<1$$ произведение положительно;
• при $$1<x<5$$ произведение отрицательно;
• при $$x>5$$ произведение положительно.

Так как нужно строгое неравенство, точки $$-1,\;1,\;5$$ не входят в ответ.

Ответ

а) $$(-2;2)$$

б) $$(-1;1)\cup(5;+\infty)$$