Упр.66 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Известно, что $$f(x)=x^8+ax^4+1$$ и $$f(2)=305$$. Найдите $$f(-2)$$ и значение коэффициента $$a$$.
Используя графические представления, объясните, какая из функций является ограниченной, какая — неограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу):
а) $$y=-5x+4$$;
б) $$y=x^5$$;
в) $$y=-x^2$$, где $$-3\leqslant x\leqslant 3$$;
г) $$y=\sqrt{x}$$;
д) $$y=\sqrt{x-2}$$, где $$x<10$$;
е) $$y=\frac{12}{x}$$, где $$-6 ж) $$y=x^{-2}$$, где $$-4\leqslant x\leqslant 4$$;
з) $$y=|x+3|$$.

Подробный ответ

$$y=-5x+4$$ — линейная функция. При $$x \to +\infty$$ значения $$y \to -\infty$$, а при $$x \to -\infty$$ значения $$y \to +\infty$$. Значит, функция неограничена.
$$y=x^5$$ — степенная функция с нечётным показателем. При $$x \to +\infty$$ имеем $$y \to +\infty$$, при $$x \to -\infty$$ имеем $$y \to -\infty$$. Значит, функция неограничена.
$$y=-x^2,\quad -3 \le x \le 3$$
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$-x^2 \le 0$$. Наибольшее значение достигается при $$x=0$$ и равно $$0$$, а наименьшее — при $$x=\pm 3$$ и равно $$-9$$. Следовательно, функция ограничена.
$$y=\sqrt{x}$$
Область определения: $$x \ge 0$$. При этом $$y \ge 0$$, а сверху значения не ограничены. Значит, функция ограничена снизу.
$$y=\sqrt{x-2},\quad x<10$$
Для существования корня нужно $$x-2 \ge 0$$, то есть $$x \ge 2$$. Тогда $$2 \le x < 10$$, и $$y \ge 0$$. Сверху функция не ограничена, снизу ограничена нулём. Значит, функция ограничена снизу.
$$y=\frac{12}{x},\quad -6<x<-1$$
На указанном промежутке $$x<0$$, поэтому $$y<0$$. При $$x \to -6$$ получаем $$y \to -2$$, а при $$x \to -1$$ получаем $$y \to -12$$. Следовательно, функция ограничена.
$$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2},\quad -4 \le x \le 4,\ x \ne 0$$
Значения функции положительны: $$y>0$$. При $$x \to 0$$ значения $$y \to +\infty$$, а на концах промежутка $$x=\pm 4$$ имеем $$y=\frac{1}{16}$$. Значит, функция ограничена снизу.
$$y=|x+3|$$
Модуль неотрицателен, поэтому $$y \ge 0$$. Сверху функция не ограничена. Значит, функция ограничена снизу.