Упр.659 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 659. Сколько членов последовательности (b_n), где b_n=(n^2-12)/n, изображаются в координатной плоскости точками, расположенными внутри полосы, ограниченной прямыми y=3 и у=6? Найдите эти члены последовательности.

Нужно найти натуральные значения $$n$$, при которых

$$3<b_n<6, \qquad b_n=\frac{n^2-12}{n}.$$

Решим неравенства по отдельности.

1) $$\frac{n^2-12}{n}>3$$

Так как $$n>0$$, умножим на $$n$$:

$$n^2-12>3n$$

$$n^2-3n-12>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=9+48=57,$$

$$n_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{57}}{2}.$$

Тогда

$$n<\frac{3-\sqrt{57}}{2} \quad \text{или} \quad n>\frac{3+\sqrt{57}}{2}.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n\ge 5$$.

2) $$\frac{n^2-12}{n}<6$$

Так как $$n>0$$, умножим на $$n$$:

$$n^2-12<6n$$

$$n^2-6n-12<0.$$

Найдём корни:

$$D= (-6)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=36+48=84,$$

$$n_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=3\pm \sqrt{21}.$$

Тогда

$$3-\sqrt{21}<n<3+\sqrt{21}.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n\le 7$$.

Совмещая оба условия, имеем:

$$5\le n\le 7.$$

Проверим значения:

$$b_5=\frac{25-12}{5}=\frac{13}{5},$$

$$b_6=\frac{36-12}{6}=4,$$

$$b_7=\frac{49-12}{7}=\frac{37}{7}.$$

Все три значения лежат между $$3$$ и $$6$$.

Ответ

Таких членов последовательности 3: $$b_5=\frac{13}{5},\ b_6=4,\ b_7=\frac{37}{7}.$$