Упр.651 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 651. Последовательности (a_n) и (b_n) заданы формулами a_n=n^3-6. Докажите, что при любом n верно неравенство a_n?b_n.

Даны последовательности:

$$a_n=n^3-6,\qquad b_n=3n^2-8n.$$

Докажем неравенство $$a_n\ge b_n.$$

Рассмотрим разность:

$$a_n-b_n=n^3-6-(3n^2-8n)=n^3-3n^2+8n-6.$$

Разложим на множители:

$$n^3-3n^2+8n-6=(n-1)(n^2-2n+6).$$

Тогда нужно доказать, что

$$ (n-1)(n^2-2n+6)\ge 0.$$

Найдём знак квадратного трёхчлена:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$n^2-2n+6>0$$

при любом $n$.

Следовательно, знак произведения определяется множителем $n-1$. Для натуральных $n$ имеем $$n-1\ge 0,$$ значит

$$a_n-b_n\ge 0,$$

то есть

$$a_n\ge b_n.$$

Ответ

$$a_n\ge b_n$$ при любом натуральном $n$.