Упр.650 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Последовательность $$(a_n)$$ задана рекуррентным соотношением $$a_1=3,\quad a_2=5,\quad a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n.$$ Докажите, что эту последовательность можно задать формулой $$a_n=2^n+1.$$
2. Найдите все члены последовательности $$(c_n),$$ где $$c_n=0{,}25n^2-n,$$ заключённые между числами 3 и 8.

Найдём все натуральные значения $$n$$, при которых

$$3<c_n<8,$$

где $$c_n=0{,}25n^2-n.$$

Решим двойное неравенство:

$$3<0{,}25n^2-n<8.$$

1) Из неравенства $$0{,}25n^2-n>3$$ получаем

$$0{,}25n^2-n-3>0,$$

$$n^2-4n-12>0,$$

$$(n+2)(n-6)>0.$$

Отсюда $$n<-2$$ или $$n>6.$$

Так как $$n$$ — номер члена последовательности, то $$n>6.$$

2) Из неравенства $$0{,}25n^2-n<8$$ получаем

$$0{,}25n^2-n-8<0,$$

$$n^2-4n-32<0,$$

$$(n+4)(n-8)<0.$$

Отсюда $$-4<n<8.$$

С учётом натуральности $$n$$ и условия $$n>6$$ получаем единственное значение:

$$n=7.$$

Найдём соответствующий член последовательности:

$$c_7=0{,}25\cdot 7^2-7=\frac14\cdot 49-7=\frac{49}{4}-\frac{28}{4}=\frac{21}{4}=5{,}25.$$

Ответ

$$c_7=5{,}25.$$