Упр.649 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) a_n=n^2-11n+28; в) a_n=0,5n^2-3n+2;
б) a_n=1,2n^2+n+0,2; г) a_n=0,1n^3-1,6n?

Подробный ответ

а) Найдём, при каких $n$ выполняется неравенство
$$n^2-11n+28<0.$$
Разложим на множители:
$$n^2-11n+28=(n-4)(n-7).$$
Тогда
$$ (n-4)(n-7)<0, \quad 4<n<7.$$
Так как $n$ — натуральное число, получаем $n=5,6$.
б) Рассмотрим неравенство
$$1{,}2n^2+n+0{,}2<0.$$
Умножим на $10$:
$$12n^2+10n+2<0.$$
Разделим на $2$:
$$6n^2+5n+1<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1,$$
$$n_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2\cdot 6}.$$
Отсюда
$$n_1=-1,\quad n_2=-\frac13.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-1<n<-\frac13.$$
Натуральных чисел в этом промежутке нет, значит, отрицательных членов последовательности нет.
в) Имеем
$$0{,}5n^2-3n+2<0.$$
Умножим на $2$:
$$n^2-6n+4<0.$$
Найдём корни:
$$D=6^2-4\cdot 4=36-16=20,$$
$$n_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}=3\pm \sqrt5.$$
Тогда
$$3-\sqrt5<n<3+\sqrt5.$$
Натуральные значения $n$ в этом промежутке: $n=1,2,3,4,5$.
г) Рассмотрим неравенство
$$0{,}1n^3-1{,}6n<0.$$
Умножим на $10$:
$$n^3-16n<0.$$
Вынесем $n$ за скобки:
$$n(n^2-16)<0,$$
$$n(n-4)(n+4)<0.$$
При натуральных $n$ имеем $n>0$ и $n+4>0$, поэтому неравенство сводится к
$$n-4<0,$$
то есть
$$n<4.$$
Следовательно, отрицательные члены последовательности соответствуют номерам $n=1,2,3$.