Упр.647 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что сумма $$S_n$$ первых $$n$$ членов последовательности $$\frac{1}{7}, \frac{1}{7^2}, \frac{1}{7^3}, \ldots, \frac{1}{7^n}, \ldots$$ может быть вычислена по формуле $$S_n=\frac{7^n-1}{6\cdot 7^n}$$.
2. Последовательность задана формулой $$a_n=n(n+4)$$. Является ли указанное число членом последовательности и если да, то каков его номер: а) $$30$$; б) $$45$$; в) $$77$$; г) $$140$$?

Проверим, является ли число членом последовательности $$a_n=n(n+4)$$. Для этого составим уравнение $$n(n+4)=x$$ и найдём его натуральные решения.

1. $$n(n+4)=30$$

   $$n^2+4n-30=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-30)=16+120=136$$

   $$n=\frac{-4\pm\sqrt{136}}{2}=-2\pm\sqrt{34}$$

   Натурального значения $$n$$ нет, значит, число $$30$$ не является членом последовательности.

2. $$n(n+4)=45$$

   $$n^2+4n-45=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-45)=16+180=196$$

   $$n=\frac{-4\pm 14}{2}$$

   $$n_1=-9,\quad n_2=5$$

   Подходит $$n=5$$.

3. $$n(n+4)=77$$

   $$n^2+4n-77=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-77)=16+308=324$$

   $$n=\frac{-4\pm 18}{2}$$

   $$n_1=-11,\quad n_2=7$$

   Подходит $$n=7$$.

4. $$n(n+4)=140$$

   $$n^2+4n-140=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-140)=16+560=576$$

   $$n=\frac{-4\pm 24}{2}$$

   $$n_1=-14,\quad n_2=10$$

   Подходит $$n=10$$.

Ответ

а) нет; б) 5; в) 7; г) 10.