Упр.645 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 645. Докажите, что если (u_n) является последовательностью Фибоначчи, т. е. задаётся условием u_1=u_2=1, u_(n+1)=u_(n-1)+u_n при n > 2, то верно равенство u^2_(n+2)-u^2_(n+1)=u_n·u_(n+3).

Используем рекуррентную формулу последовательности Фибоначчи:

$$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$$

$$u_{n+3}=u_{n+2}+u_{n+1}.$$

Тогда

$$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=(u_{n+2}-u_{n+1})(u_{n+2}+u_{n+1}).$$

По формуле последовательности

$$u_{n+2}-u_{n+1}=u_n,$$

а также

$$u_{n+2}+u_{n+1}=u_{n+3}.$$

Следовательно,

$$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=u_n\cdot u_{n+3}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=u_n\cdot u_{n+3}.$$