Упр.645 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Выведите формулу суммы первых $$n$$ нечётных натуральных чисел.
2. Докажите, что если $$(u_n)$$ является последовательностью Фибоначчи, т. е. задаётся условием $$u_1=u_2=1,\quad u_{n+1}=u_{n-1}+u_n$$ при $$n>2$$, то верно равенство $$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=u_n\cdot u_{n+3}$$.

Используем рекуррентную формулу последовательности Фибоначчи:

$$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,$$

$$u_{n+3}=u_{n+2}+u_{n+1}.$$

Тогда

$$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=(u_{n+2}-u_{n+1})(u_{n+2}+u_{n+1}).$$

По формуле последовательности

$$u_{n+2}-u_{n+1}=u_n,$$

а также

$$u_{n+2}+u_{n+1}=u_{n+3}.$$

Следовательно,

$$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=u_n\cdot u_{n+3}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$u_{n+2}^2-u_{n+1}^2=u_n\cdot u_{n+3}.$$