Упр.643 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) сумма первых $$n$$ натуральных чисел равна $$\frac{n(n+1)}{2}$$;
   б) сумма кубов первых $$n$$ натуральных чисел равна $$\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$.
2. В последовательности, заданной формулой, найдите $$a_9$$, $$a_{12}$$, $$a_{2004}$$, $$a_{2k}$$, $$a_{2k+1}$$:
   $$a_n=\begin{cases}0, & \text{если } n\text{ — чётное};\\ n(n+1), & \text{если } n\text{ — нечётное}.\end{cases}$$

По условию

$$a_n= \begin{cases} 0, & \text{если } n \text{ — чётное},\\ n(n+1), & \text{если } n \text{ — нечётное}. \end{cases}$$

Тогда:

$$a_9=9\cdot 10=90,$$

так как $$9$$ — нечётное число;

$$a_{12}=0,$$

так как $$12$$ — чётное число;

$$a_{2004}=0,$$

так как $$2004$$ — чётное число.

Для общего члена:

если $$n=2k$$, то число чётное, значит

$$a_{2k}=0;$$

если $$n=2k+1$$, то число нечётное, значит

$$a_{2k+1}=(2k+1)\bigl((2k+1)+1\bigr)=(2k+1)(2k+2).$$

Ответ

$$a_9=90,\quad a_{12}=0,\quad a_{2004}=0,\quad a_{2k}=0,\quad a_{2k+1}=(2k+1)(2k+2).$$