Упр.640 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что последовательность $$(u_n)$$ является убывающей, если:
   а) $$u_n=12\cdot(0{,}5)^n-1$$;
   б) $$u_n=\frac{n+4}{n^2+2}$$.
2. Пусть $$(a_n)$$ — последовательность приближённых значений дроби $$\frac{1}{6}$$, взятых с недостатком с точностью до $$0{,}1$$; $$0{,}01$$; $$0{,}001$$ и т. д. Найдите $$a_1$$, $$a_2$$, $$a_3$$, $$a_4$$, $$a_{10}$$, $$a_{31}$$, $$a_{100}$$.

Так как требуется последовательность приближённых значений дроби $$\frac{1}{6}$$ с недостатком, то каждый следующий член получается отбрасыванием очередной цифры после запятой:

$$\frac{1}{6}=0,166666\ldots$$

Тогда:

$$a_1=0,1,$$
$$a_2=0,16,$$
$$a_3=0,166,$$
$$a_4=0,1666.$$

Далее:

$$a_{10}=0,1666666666,$$
$$a_{31}=0,1\underbrace{666\ldots 666}_{30\ \text{шестёрок}},$$
$$a_{100}=0,1\underbrace{666\ldots 666}_{99\ \text{шестёрок}}.$$

Ответ

$$a_1=0,1;\ a_2=0,16;\ a_3=0,166;\ a_4=0,1666;\ a_{10}=0,1666666666;\ a_{31}=0,1\underbrace{666\ldots 666}_{30};\ a_{100}=0,1\underbrace{666\ldots 666}_{99}.$$