Упр.64 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 64. Докажите, что значение выражения v(n^2+n+4+v(n^2+9-6n)) при n?N и n > 3 является натуральным числом.

Так как $$n \in \mathbb{N}$$ и $$n>3,$$ то

$$n^2+9-6n=(n-3)^2.$$

Тогда данное выражение преобразуется так:

$$\sqrt{n^2+n+4+\sqrt{n^2+9-6n}}=\sqrt{n^2+n+4+\sqrt{(n-3)^2}}.$$

Поскольку $$n>3,$$ имеем $$\sqrt{(n-3)^2}=n-3.$$ Следовательно,

$$\sqrt{n^2+n+4+\sqrt{(n-3)^2}}=\sqrt{n^2+n+4+n-3}=\sqrt{n^2+2n+1}.$$

Получаем

$$\sqrt{n^2+2n+1}=\sqrt{(n+1)^2}=n+1.$$

Так как $$n \in \mathbb{N},$$ то и $$n+1 \in \mathbb{N}.$$ Значит, значение выражения является натуральным числом.

Ответ

$$n+1$$ — натуральное число.