Упр.632 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) |x|+|y|?3; в) |y|?x-1;
б) |x|-|y|?2; г) |y|?x+1.

Подробный ответ

а) $$|x|+|y|\le 3$$
Рассмотрим по четвертям координатной плоскости. В первой четверти $$x\ge 0,\ y\ge 0$$, поэтому
$$x+y\le 3,\quad y\le 3-x.$$
Аналогично во всех четвертях получаем границы:
$$x+y=3,\quad x-y=3,\quad -x+y=3,\quad -x-y=3.$$
Это ромб с вершинами $$\,(0,3),\ (3,0),\ (0,-3),\ (-3,0)\,.$$ Закрашивается внутренняя область вместе с границей.
б) $$|x|-|y|\ge 2$$
В первой четверти $$x\ge 0,\ y\ge 0$$, значит
$$x-y\ge 2,\quad y\le x-2.$$
Граница задаётся прямыми
$$y=x-2 \quad \text{и} \quad y=2-x.$$
Искомая область — все точки, для которых $$|x|$$ не меньше $$|y|+2$$; она состоит из двух симметричных неограниченных областей слева и справа от оси $$Oy$$, включая границу.
в) $$|y|\le x-1$$
Так как $$|y|\ge 0$$, то обязательно $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$.
Тогда
$$-\, (x-1)\le y\le x-1.$$
Граница состоит из прямых
$$y=x-1 \quad \text{и} \quad y=1-x.$$
Это область между этими прямыми справа от точки $$\,(1,0)\,,$$ включая границу.
г) $$|y|\ge x+1$$
Если $$x+1\le 0$$, то неравенство выполняется при любых $$y$$, то есть при $$x\le -1$$ закрашивается вся вертикальная полоса слева от прямой $$x=-1$$.
Если $$x+1>0$$, то
$$y\ge x+1 \quad \text{или} \quad y\le -x-1.$$
Граница задаётся прямыми
$$y=x+1 \quad \text{и} \quad y=-x-1.$$
Искомая область — все точки вне угла между этими прямыми, включая сами прямые.