Упр.628 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 628. Перемножив многочлены вида ax+3 и x^2+bx-2 с переменной х, получили многочлен вида ax^3+23x^2+7x-6. Найдите коэффициенты а и b.

Перемножим многочлены:

$$ (ax+3)(x^2+bx-2)=ax^3+abx^2-2ax+3x^2+3bx-6. $$

Приведём подобные слагаемые:

$$ (ax+3)(x^2+bx-2)=ax^3+(ab+3)x^2+(3b-2a)x-6. $$

По условию это равно многочлену

$$ ax^3+23x^2+7x-6. $$

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$$ ab+3=23, $$

$$ 3b-2a=7. $$

Из первого уравнения:

$$ ab=20. $$

Тогда

$$ b=\frac{20}{a}. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ 3\cdot \frac{20}{a}-2a=7. $$

Умножим на $a$:

$$ 60-2a^2=7a, $$

$$ 2a^2+7a-60=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=7^2-4\cdot 2\cdot(-60)=49+480=529, $$

$$ a=\frac{-7\pm 23}{4}. $$

Получаем:

$$ a_1=4,\qquad a_2=-\frac{15}{2}. $$

Найдём соответствующие значения $b$:

$$ a=4 \Rightarrow b=\frac{20}{4}=5, $$

$$ a=-\frac{15}{2} \Rightarrow b=\frac{20}{-\frac{15}{2}}=-\frac{8}{3}. $$

Ответ

$$ a=4,\ b=5;\quad a=-\frac{15}{2},\ b=-\frac{8}{3}. $$