Упр.624 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 624. Два каменщика, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если бы один из них выполнил 2/3 всей работы, а потом второй закончил бы работу, то им понадобилось бы 12 ч. За сколько часов каждый каменщик мог бы один выполнить всю работу?

Пусть первый каменщик может выполнить всю работу за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ работы в час.

По условию вместе они выполняют работу за 6 ч, значит:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}.$$

Если первый выполнит $$\frac{2}{3}$$ работы, а затем второй закончит работу, то на это уйдёт 12 ч. Получаем:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=12.$$

Умножим второе уравнение на 3:

$$2x+y=36,$$

откуда

$$y=36-2x.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{36-2x}=\frac{1}{6}.$$

Умножим на $$6x(36-2x)$$:

$$6(36-2x)+6x=x(36-2x).$$

$$216-12x+6x=36x-2x^2,$$

$$2x^2-42x+216=0,$$

$$x^2-21x+108=0.$$

Найдём корни:

$$D=21^2-4\cdot108=441-432=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{21\pm3}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=9,\quad x_2=12.$$

Тогда

$$y=36-2x,$$

и при $$x=9$$ имеем $$y=18$$, а при $$x=12$$ имеем $$y=12$$.

Проверка показывает, что оба набора удовлетворяют условию задачи.

Ответ

$$9\text{ ч и }18\text{ ч};\quad 12\text{ ч и }12\text{ ч}.$$