Упр.622 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 622. В равнобедренный треугольник вписан ромб так, что одна его сторона лежит на основании, а другая — на боковой стороне треугольника. Сторона ромба равна 10 см, а периметр треугольника равен 75 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$x$$ см, тогда вторая боковая сторона тоже равна $$x$$ см, а основание равно $$75-2x$$ см.

Рассмотрим треугольники $$DBE$$ и $$ABC$$. У них:

$$\angle CAB=\angle EDB,\qquad \angle ABC=\angle DBE,$$

значит, $$\triangle DBE \sim \triangle ABC$$.

Тогда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}.$$

Так как сторона ромба равна $$10$$ см, то $$BD=DE=10$$, поэтому

$$\frac{x-10}{x}=\frac{10}{75-2x}.$$

Решим уравнение:

$$ (75-2x)(x-10)=10x \\ 75x-750-2x^2+20x=10x \\ 2x^2-85x+750=0 $$

Найдём корни:

$$ D=85^2-4\cdot 2\cdot 750=7225-6000=1225, $$

$$ x=\frac{85\pm 35}{4}. $$

Отсюда

$$x_1=30,\qquad x_2=12{,}5.$$

Тогда основания треугольника равны:

$$75-2\cdot 30=15,$$

$$75-2\cdot 12{,}5=50.$$

Следовательно, стороны треугольника: $$15$$ см, $$30$$ см и $$30$$ см.

Ответ

$$15\text{ см},\ 30\text{ см},\ 30\text{ см}.$$