Упр.621 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 621. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его площадь равна 150 см^2. Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$.

Тогда по теореме Пифагора и по формуле площади имеем:

$$ \begin{cases} a^2+b^2=25^2,\\ \frac12 ab=150. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ab=300.$$

Возведём сумму катетов в квадрат:

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=625+600=1225, $$

значит,

$$a+b=35.$$

Теперь найдём катеты как корни уравнения:

$$ t^2-35t+300=0. $$

$$ D=35^2-4\cdot 300=1225-1200=25. $$

$$ t_{1,2}=\frac{35\pm 5}{2}. $$

Получаем:

$$t_1=15,\quad t_2=20.$$

Следовательно, катеты треугольника равны $$15$$ см и $$20$$ см.

Ответ

$$15\text{ см и }20\text{ см}.$$