Упр.620 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 620. Если из числителя и знаменателя обыкновенной дроби вычесть по 2, то значение этой дроби уменьшится на 1/6, а если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби увеличится на 1/12. Найдите эту дробь.

Пусть заданная дробь равна $$\frac{m}{n}.$$ Тогда по условию:

$$\frac{m-2}{n-2}=\frac{m}{n}-\frac16,$$

$$\frac{m+2}{n+2}=\frac{m}{n}+\frac1{12}.$$

Из первого уравнения:

$$6n(m-2)=6m(n-2)-n(n-2),$$

$$6mn-12n=6mn-12m-n^2+2n,$$

$$12m-14n+n^2=0,$$

$$12m=14n-n^2.$$

Из второго уравнения:

$$12n(m+2)=12m(n+2)+n(n+2),$$

$$12mn+24n=12mn+24m+n^2+2n,$$

$$24n-24m=n^2+2n,$$

$$24m=22n-n^2.$$

Приравняем выражения для $$m$$:

$$\frac{14n-n^2}{12}=\frac{22n-n^2}{24}.$$

Умножим на $$24$$:

$$2(14n-n^2)=22n-n^2,$$

$$28n-2n^2=22n-n^2,$$

$$n^2-6n=0,$$

$$n(n-6)=0.$$

Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $$n=6.$$

Тогда из $$12m=14n-n^2$$ получаем:

$$12m=14\cdot 6-6^2=84-36=48,$$

$$m=4.$$

Следовательно, искомая дробь равна $$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$\frac{2}{3}$$