Упр.619 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 619. Если к знаменателю обыкновенной дроби прибавить 1, то значение этой дроби уменьшится на 1/6 если из знаменателя этой дроби вычесть 1, то значение дроби увеличится на 1/3. Найдите эту дробь.

Пусть дана дробь $$\frac{m}{n}.$$ Тогда по условию:

$$\frac{m}{n+1}=\frac{m}{n}-\frac16,$$
$$\frac{m}{n-1}=\frac{m}{n}+\frac13.$$

Из первого уравнения:

$$6mn=6m(n+1)-n(n+1),$$
$$6mn=6mn+6m-n^2-n,$$
$$6m=n^2+n.$$

Из второго уравнения:

$$3mn=3m(n-1)+n(n-1),$$
$$3mn=3mn-3m+n^2-n,$$
$$3m=n^2-n.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$6m-3m=(n^2+n)-(n^2-n),$$
$$3m=2n,$$
$$m=\frac{2n}{3}.$$

Подставим в равенство $$3m=n^2-n$$:

$$3\cdot \frac{2n}{3}=n^2-n,$$
$$2n=n^2-n,$$
$$n^2-3n=0,$$
$$n(n-3)=0.$$

Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $$n=3.$$ Тогда

$$m=\frac{2\cdot 3}{3}=2.$$

Искомая дробь:

$$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}.$$

Ответ

$$\frac{2}{3}$$