Упр.616 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 616. Докажите, что при любом значении параметра m система уравнений {2xy-3y^2=0, x+y=m} имеет решение.

Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x=m-y.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$2y(m-y)-3y^2=0.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$2my-2y^2-3y^2=0,$$

$$2my-5y^2=0,$$

$$y(2m-5y)=0.$$

Отсюда получаем два случая:

$$y=0$$ или $$y=\frac{2m}{5}.$$

1) Если $$y=0$$, то из $$x+y=m$$ имеем $$x=m$$. Тогда пара $$\left(m,0\right)$$ удовлетворяет системе.

2) Если $$y=\frac{2m}{5}$$, то

$$x=m-\frac{2m}{5}=\frac{3m}{5}.$$

Тогда пара $$\left(\frac{3m}{5},\frac{2m}{5}\right)$$ также удовлетворяет системе.

Следовательно, при любом значении параметра $$m$$ система имеет решение.

Ответ

При любом $$m$$ система имеет решение, например $$\left(m,0\right)$$ или $$\left(\frac{3m}{5},\frac{2m}{5}\right)$$.